En matemáticas , específicamente en topología simpléctica y geometría algebraica , un anillo de cohomología cuántica es una extensión del anillo de cohomología ordinario de una variedad simpléctica cerrada . Viene en dos versiones, llamadas pequeñas y grandes ; en general, este último es más complicado y contiene más información que el primero. En cada uno, la elección del anillo de coeficiente (típicamente un anillo de Novikov , que se describe a continuación) también afecta significativamente su estructura.
Mientras que el producto de copa de la cohomología ordinaria describe cómo las subvariedades de la variedad se cruzan entre sí, el producto de copa cuántica de la cohomología cuántica describe cómo los subespacios se cruzan de una manera "difusa", "cuántica". Más precisamente, se cruzan si están conectados a través de una o más curvas pseudoholomórficas . Los invariantes de Gromov-Witten , que cuentan estas curvas, aparecen como coeficientes en las expansiones del producto de taza cuántica.
Debido a que expresa una estructura o patrón para los invariantes de Gromov-Witten, la cohomología cuántica tiene implicaciones importantes para la geometría enumerativa . También se conecta con muchas ideas en física matemática y simetría especular . En particular, es anillo- isomorfo a la homología de Floer simpléctica .
A lo largo de este artículo, X es una variedad simpléctica cerrada con forma simpléctica ω.
Anillo Novikov
Son posibles varias elecciones de anillo de coeficientes para la cohomología cuántica de X. Por lo general, un anillo se elige que codifica información sobre el segundo homología de X . Esto permite que el producto taza cuántica, se define a continuación, a la información de registro sobre las curvas pseudoholomorphic en X . Por ejemplo, deja
ser el segundo módulo de homología su torsión . Sea R cualquier anillo conmutativo con unidad y Λ el anillo de la serie formal de potencias de la forma
dónde
- los coeficientes vienen de R ,
- la son variables formales sujetas a la relación ,
- para cada número real C , solo un número finito de A con ω ( A ) menor o igual que C tienen coeficientes distintos de cero.
La variable se considera de grado , dónde es la primera clase Chern del paquete tangente TX , considerado como un paquete vectorial complejo al elegir cualquier estructura casi compleja compatible con ω. Por lo tanto, Λ es un anillo graduado, llamado anillo Novikov por ω. (Las definiciones alternativas son comunes).
Cohomología cuántica pequeña
Dejar
ser la cohomología de X módulo de torsión. Defina la cohomología cuántica pequeña con coeficientes en Λ para ser
Sus elementos son sumas finitas de la forma
La pequeña cohomología cuántica es un módulo R graduado con
La cohomología ordinaria H * ( X ) incrusta en QH * ( X , Λ) a través de, y QH * ( X , Λ) se genera como un módulo Λ por H * ( X ).
Para dos clases de cohomología cualesquiera a , b en H * ( X ) de grado puro, y para cualquier A en, defina ( a ∗ b ) A como el elemento único de H * ( X ) tal que
(El lado derecho es un género 0, invariante de Gromov-Witten de 3 puntos). Luego defina
Esto se extiende por linealidad a un mapa Λ-bilineal bien definido
llamado el producto de la pequeña taza cuántica .
Interpretación geométrica
Las únicas curvas pseudoholomórficas en la clase A = 0 son mapas constantes, cuyas imágenes son puntos. Resulta que
en otras palabras,
Así, el producto de taza cuántica contiene el producto de taza ordinario; extiende el producto de taza ordinario a clases A distintas de cero .
En general, el Poincaré dual de ( un * b ) A corresponde al espacio de curvas pseudoholomorphic de clase A que pasan a través de los duales Poincaré de una y b . Así, mientras que la cohomología ordinaria considera una y B se cruzan sólo cuando se reúnan en uno o más puntos, la cohomología cuántica registra una intersección no nula para un y b siempre que estén conectados por uno o más pseudoholomorphic curvas. El anillo Novikov solo ofrece un gran sistema de contabilidad suficiente para registrar esta información intersección de todas las clases A .
Ejemplo
Sea X el plano proyectivo complejo con su forma simpléctica estándar (correspondiente a la métrica de Fubini-Study ) y estructura compleja. Dejarser el Poincaré dual de una línea L . Luego
Los solamente no nulos invariantes Gromov-Witten son las de clase A = 0 o A = L . Resulta que
y
donde δ es el delta de Kronecker . Por lo tanto,
En este caso conviene renombrar como q y use el anillo de coeficiente más simple Z [ q ]. Esta q es de grado. Luego
Propiedades del producto de taza cuántica pequeña
Para a , b de grado puro,
y
El producto de taza cuántica pequeña es distributivo y Λ-bilineal. El elemento de identidad es también el elemento de identidad de la cohomología cuántica pequeña.
El producto de taza cuántica pequeña también es asociativo . Esto es una consecuencia de la ley de pegado para invariantes de Gromov-Witten, un resultado técnico difícil. Es equivalente al hecho de que el potencial de Gromov-Witten (una función generadora para los invariantes de Gromov-Witten del género-0) satisface una cierta ecuación diferencial de tercer orden conocida como ecuación WDVV .
Un emparejamiento de intersección
es definido por
(Los subíndices 0 indican el coeficiente A = 0). Este emparejamiento satisface la propiedad de asociatividad
Conexión Dubrovin
Cuando el anillo base R es C , se puede ver la parte H uniformemente graduada del espacio vectorial QH * ( X , Λ) como una variedad compleja. El producto taza cuántica pequeña restringe a un producto bien definido, conmutativa en H . Bajo supuestos leves, H con el emparejamiento de intersecciónes entonces un álgebra de Frobenius .
El producto de la taza cuántica puede verse como una conexión en el haz tangente TH , llamada conexión Dubrovin . La conmutatividad y asociatividad del producto de copa cuántica corresponden entonces a las condiciones de torsión cero y curvatura cero en esta conexión.
Gran cohomología cuántica
Existe una vecindad U de 0 ∈ H tal quey la conexión Dubrovin dan a U la estructura de una variedad Frobenius . Cualquier a en U define un producto de taza cuántica
por la fórmula
En conjunto, estos productos en H se denominan la gran cohomología cuántica . Todos los invariantes del género 0 Gromov-Witten son recuperables de él; en general, no ocurre lo mismo con la cohomología cuántica pequeña más simple.
La cohomología cuántica pequeña sólo tiene información de invariantes de Gromov-Witten de 3 puntos, pero la cohomología cuántica grande tiene todas las (n ≧ 4) invariantes de Gromov-Witten de n puntos. Para obtener información geométrica enumerativa para algunas variedades, necesitamos utilizar la cohomología cuántica grande. La cohomología cuántica pequeña correspondería a funciones de correlación de 3 puntos en física, mientras que la cohomología cuántica grande correspondería a todas las funciones de correlación de n puntos.
Referencias
- McDuff, Dusa y Salamon, Dietmar (2004). J-Curvas holomorfas y topología simpléctica , publicaciones del coloquio de la American Mathematical Society. ISBN 0-8218-3485-1 .
- Fulton, W; Pandharipande, R (1996). "Notas sobre mapas estables y cohomología cuántica". arXiv : alg-geom / 9608011 .
- Piunikhin, Sergey; Salamon, Dietmar y Schwarz, Matthias (1996). Teoría simpléctica de Floer-Donaldson y cohomología cuántica. En CB Thomas (Ed.), Contact and Symplectic Geometry , págs. 171–200. Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-57086-7