En el campo matemático de la topología , la finitud local es una propiedad de las colecciones de subconjuntos de un espacio topológico . Es fundamental en el estudio de la paracompactancia y la dimensión topológica .
Una colección de subconjuntos de un espacio topológico. Se dice que es localmente finito , si cada punto en el espacio tiene una vecindad que interseca sólo una cantidad finita de los conjuntos de la colección.
Tenga en cuenta que el término localmente finito tiene diferentes significados en otros campos matemáticos.
Ejemplos y propiedades
Una colección finita de subconjuntos de un espacio topológico es localmente finita. Las colecciones infinitas también pueden ser localmente finitas: por ejemplo, la colección de todos los subconjuntos de de la forma por un entero . Una colección contable de subconjuntos no necesita ser localmente finita, como lo muestra la colección de todos los subconjuntos de de la forma para un número natural n .
Si una colección de conjuntos es localmente finita, la colección de todos los cierres de estos conjuntos también es localmente finita. La razón de esto es que si un conjunto abierto que contiene un punto interseca el cierre de un conjunto, necesariamente interseca al conjunto mismo, por lo tanto, un vecindario puede intersecar como máximo el mismo número de cierres (puede intersecar menos, ya que dos distintos, de hecho disjuntos, los conjuntos pueden tener el mismo cierre). Sin embargo, lo contrario puede fallar si los cierres de los sets no son distintos. Por ejemplo, en la topología de complemento finito en la colección de todos los conjuntos abiertos no es localmente finita, pero la colección de todos los cierres de estos conjuntos es localmente finita (ya que los únicos cierres son y el conjunto vacío ).
Espacios compactos
Cada colección localmente finita de subconjuntos de un espacio compacto debe ser finita. De hecho, deja Ser una familia localmente finita de subconjuntos de un espacio compacto. . Por cada punto, elige un vecindario abierto que intersecta un número finito de los subconjuntos en . Claramente la familia de conjuntos:es una tapa abierta de, y por lo tanto tiene una subcubierta finita :. Desde cada uno interseca sólo un número finito de subconjuntos en , la unión de todos esos interseca sólo un número finito de subconjuntos en . Dado que esta unión es todo el espacio, se deduce que interseca solo un número finito de subconjuntos en la colección . Y desde se compone de subconjuntos de cada miembro de debe cruzarse , por lo tanto es finito.
Un espacio topológico en el que cada cubierta abierta admite un refinamiento abierto localmente finito se llama paracompacto . Cada colección localmente finita de subconjuntos de un espacio topológico también es puntual-finita . Un espacio topológico en el que toda cubierta abierta admite un refinamiento abierto puntual finito se llama metacompacto .
Segundos espacios contables
Ninguna cobertura incontable de un espacio Lindelöf puede ser localmente finita, esencialmente por el mismo argumento que en el caso de los espacios compactos. En particular, ninguna cobertura incontable de un segundo espacio contable es localmente finita.
Conjuntos cerrados
Una unión finita de conjuntos cerrados siempre está cerrada. Se puede dar fácilmente un ejemplo de una unión infinita de conjuntos cerrados que no es cerrada. Sin embargo, si consideramos una colección localmente finita de conjuntos cerrados, la unión es cerrada. Para ver esto notamos que si es un punto fuera de la unión de esta colección localmente finita de conjuntos cerrados, simplemente elegimos una vecindad de que cruza esta colección en sólo un número finito de estos conjuntos. Definir un mapa biyectivo a partir de la colección de conjuntos que se cruza con dando así un índice a cada uno de estos conjuntos. Luego, para cada conjunto, elija un conjunto abierto conteniendo eso no lo cruza. La intersección de todos esos por intersectado con , es un barrio de que no cruza la unión de esta colección de conjuntos cerrados.
Colecciones contables localmente finitas
Una colección en un espacio es contablemente localmente finito (o σ-localmente finito ) si es la unión de una familia contable de colecciones localmente finitas de subconjuntos de. Numerable finitud local es una hipótesis clave en el teorema de metrización Nagata-Smirnov , que establece que un espacio topológico es metrizable si y sólo si es normal y tiene una numerable localmente finita base .
Referencias
- James R. Munkres (2000), Topología (2.a ed.), Prentice Hall, ISBN 0-13-181629-2