En matemáticas, el complejo de Coxeter , que lleva el nombre de HSM Coxeter , es una estructura geométrica (un complejo simplicial ) asociado a un grupo de Coxeter . Los complejos de Coxeter son los objetos básicos que permiten la construcción de edificios ; forman los apartamentos de un edificio.
Construcción
La representación lineal canónica
El primer ingrediente en la construcción del complejo de Coxeter asociado a un grupo de Coxeter W es una cierta representación de W , llamada la representación canónica de W .
Dejar ser un sistema Coxeter asociado a W , con matriz Coxeter . La representación canónica viene dada por un espacio vectorial V con base de símbolos formales, que está equipado con la forma bilineal simétrica . La acción de W sobre este espacio vectorial V viene dada por, motivado por la expresión de reflexiones en sistemas radiculares .
Esta representación tiene varias propiedades fundamentales en la teoría de los grupos de Coxeter; por ejemplo, la forma bilineal B es definida positiva si y sólo si W es finito. Que es (siempre) una fiel representación de W .
Cámaras y el cono de las tetas
Se puede pensar que esta representación expresa W como una especie de grupo de reflexión , con la salvedad de que B podría no ser una definición positiva. Entonces se vuelve importante distinguir la representación V de su V * dual . Los vectoresse encuentran en V , y tienen vectores duales correspondientesen V * , dado por:
donde los corchetes en ángulo indican el apareamiento natural de un vector dual en V * con un vector de V , y B es la forma bilineal como arriba.
Ahora W actúa sobre V * , y la acción satisface la fórmula
por y cualquier f en V * . Esto expresa s como un reflejo en el hiperplano.. Uno tiene la cámara fundamental, esto tiene caras las llamadas paredes, . Las otras cámaras se pueden obtener de por traducción: son los por .
Dada una cámara fundamental , el cono de las tetas se define como. No es necesario que sea la totalidad de V * . De gran importancia es el hecho de que el cono X de las tetas es convexo. La acción de W sobre el cono de Tits X tiene dominio fundamental la cámara fundamental.
El complejo de Coxeter
Una vez que se ha definido el cono de tetas X , el complejo de Coxeterde W con respecto a S se puede definir como el cociente de X , con el origen eliminado, por los reales positivos (ℝ + , ×):
- .
Ejemplos de
Grupos diédricos finitos
Los grupos diedros (de orden 2 n ) son grupos Coxeter, del tipo correspondiente. Estos tienen la presentacion.
La representación lineal canónica de es la representación de reflexión habitual del grupo diedro, actuando sobre un n -gon en el plano (por lo queen este caso). Por ejemplo, en el caso n = 3, obtenemos el grupo Coxeter de tipo, actuando sobre un triángulo equilátero en el plano. Cada reflexión s tiene un hiperplano asociado H s en el espacio vectorial dual (que se puede identificar canónicamente con el espacio vectorial en sí usando la forma bilineal B , que es un producto interno en este caso como se señaló anteriormente), estas son las paredes. Cortaron cámaras, como se ve a continuación:
El complejo de Coxeter es entonces el correspondiente 2 n -gon, como en la imagen de arriba. Este es un complejo simplicial de dimensión 1, y se puede colorear por cotipo.
El grupo diedro infinito
Otro ejemplo motivador es el grupo diedro infinito . Esto puede verse como el grupo de simetrías de la línea real que conserva el conjunto de puntos con coordenadas enteras; es generado por los reflejos en y . Este grupo tiene la presentación de Coxeter.
En este caso, ya no es posible identificar V con el espacio dual V * , ya que B no es definido positivo. Entonces es mejor trabajar únicamente con V * , que es donde se definen los hiperplanos. Esto luego da la siguiente imagen:
En este caso, el cono de Tits no es el plano completo, sino solo el semiplano superior. La cociente de los reales positivos produce otra copia de la línea real, con puntos marcados en los números enteros. Este es el complejo de Coxeter del grupo diedro infinito.
Construcción alternativa del complejo Coxeter
Otra descripción del complejo Coxeter utiliza clases laterales estándar del grupo W de Coxeter . Una clase lateral estándar es una clase lateral de la forma, dónde para algún subconjunto J de S . Por ejemplo, y .
El complejo de Coxeter es entonces el poset de las clases laterales estándar, ordenadas por inclusión inversa. Esto tiene una estructura canónica de un complejo simplicial, al igual que todos los posets que satisfacen:
- Dos elementos cualesquiera tienen un límite inferior máximo.
- El conjunto de elementos menor o igual que cualquier elemento dado es isomorfo al conjunto de subconjuntos de para algún número entero n .
Propiedades
El complejo de Coxeter asociado a tiene dimensión . Es homeomorfo a un-esfera si W es finito y es contráctil si W es infinito.
Ver también
Referencias
- Peter Abramenko y Kenneth S. Brown , Edificios, teoría y aplicaciones . Springer, 2008.