Hélice de Boerdijk-Coxeter

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La hélice de Boerdijk-Coxeter , llamada así en honor a HSM Coxeter y AH Boerdijk , es un apilamiento lineal de tetraedros regulares , dispuestos de manera que los bordes del complejo que pertenecen a un solo tetraedro forman tres hélices entrelazadas . Hay dos formas quirales , con vueltas en sentido horario o antihorario. A diferencia de cualquier otro apilamiento de sólidos platónicos , la hélice de Boerdijk-Coxeter no es rotacionalmente repetitiva en el espacio tridimensional. Incluso en una cadena infinita de tetraedros apilados, no habrá dos tetraedros que tengan la misma orientación, porque el paso helicoidal por celda no es una fracción racional del círculo. Sin embargo, se han encontrado formas modificadas de esta hélice que son rotacionalmente repetitivas, ^[2] y en el espacio de 4 dimensiones esta hélice se repite en anillos de exactamente 30 células tetraédricas que teselan la superficie de 3 esferas de las 600 células , una de las seis policoras convexas regulares .

Buckminster Fuller lo denominó tetrahélice y los consideró elementos tetraédricos regulares e irregulares. ^[3]

Las coordenadas de los vértices de la hélice de Boerdijk-Coxeter compuesta por tetraedros con longitud de arista unitaria se pueden escribir en la forma

donde , y es un número entero arbitrario. Los dos valores diferentes de corresponden a dos formas quirales. Todos los vértices están ubicados en el cilindro con radio a lo largo del eje z. Dada cómo se alternan los tetraedros, esto da un giro aparente de cada dos tetraedros. Hay otro cilindro inscrito con radio dentro de la hélice. ^[4]${\displaystyle r=3{\sqrt {3}}/10}$${\displaystyle \theta =\pm \cos ^{-1}(-2/3)\aproximadamente 131,81^{\circ }}$${\displaystyle h=1/{\sqrt {10}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle r}$${\displaystyle 2\theta -{\frac {4}{3}}\pi \aproximadamente 23,62^{\circ }}$${\displaystyle 3{\sqrt {2}}/20}$

Las 600 células se dividen en 20 anillos de 30 tetraedros , cada uno de los cuales es una hélice de Boerdijk-Coxeter. ^[5] Cuando se superpone a la curvatura de 3 esferas , se vuelve periódica, con un período de diez vértices, que abarca las 30 celdas. El conjunto de tales hélices en las 600 células representa una fibración de Hopf discreta . ^[6] Mientras que en 3 dimensiones los bordes son hélices, en la topología impuesta de 3 esferas son geodésicas y no tienen torsión . Se enrollan entre sí de forma natural debido a la fibración de Hopf. ^[7] El conjunto de aristas forma otra fibración de Hopf discreta de 12 anillos con 10 vértices cada uno. Estos corresponden a anillos de 10 dodecaedros duales de 120 celdas .

Además, las 16 celdas se dividen en dos anillos de 8 tetraedros , de cuatro aristas de largo, y las de 5 celdas se dividen en un único anillo degenerado de 5 tetraedros .

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