En matemáticas , un grupo de 2 grupos o un grupo superior bidimensional es una cierta combinación de grupo y grupoide . Los 2 grupos forman parte de una jerarquía más amplia de n grupos . En parte de la literatura, los grupos 2 también se denominan categorías gr o agrupaciones grupales .
Definición
Un grupo 2 es una categoría monoidal G en la que cada morfismo es invertible y cada objeto tiene una inversa débil. (Aquí, un inverso débil de un objeto x es un objeto y tal que xy e yx son ambos isomorfos al objeto unitario).
2 grupos estrictos
Gran parte de la literatura se centra en dos grupos estrictos . Un grupo 2 estricto es una categoría monoidal estricta en la que cada morfismo es invertible y cada objeto tiene una inversa estricta (de modo que xy e yx son en realidad iguales al objeto unitario).
Un grupo 2 estricto es un objeto de grupo en una categoría de categorías ; como tales, también se denominan categorías grupales . Por el contrario, un 2-grupo estricto es un objeto de categoría en la categoría de grupos ; como tales, también se denominan grupos categóricos . También se pueden identificar con módulos cruzados , y la mayoría de las veces se estudian de esa forma. Por lo tanto, los 2 grupos en general pueden verse como un debilitamiento de los módulos cruzados .
Cada grupo de 2 es equivalente a un grupo de 2 estrictos, aunque esto no se puede hacer de manera coherente: no se extiende a los homomorfismos de 2 grupos.
Propiedades
Inversas débiles siempre se pueden asignar de forma coherente: se puede definir un funtor en cualquier 2-grupo G que asigna un inversas débil para cada objeto y las marcas que se oponen una equivalencia adjunto en la categoría monoidal G .
Dada una bicategoría B y un objeto x de B , hay un automorfismo 2-grupo de x en B , escrito Aut B ( x ). Los objetos son los automorfismos de x , con la multiplicación dada por la composición, y los morfismos son los 2-morfismos invertibles entre estos. Si B es una 2-groupoid (así que todos los objetos y morfismos son débilmente invertible) y x es su único objeto, entonces Aut B ( x ) son los únicos datos que quedan en B . Por lo tanto, los grupos 2 pueden identificarse con los grupos 2 de un objeto, de la misma manera que los grupos pueden identificarse con los grupoides de un objeto y las categorías monoidales pueden identificarse con las bicategorías de un objeto.
Si G es un grupo 2 estricto, entonces los objetos de G forman un grupo, llamado grupo subyacente de G y escrito G 0 . Esto no funcionará para 2 grupos arbitrarios; sin embargo, si uno identifica objetos isomorfos, entonces las clases de equivalencia forman un grupo, llamado grupo fundamental de G y escrito π 1 ( G ). (Tenga en cuenta que incluso para un grupo 2 estricto, el grupo fundamental solo será un grupo cociente del grupo subyacente).
Como categoría monoidal, cualquier 2-grupo G tiene un objeto de unidad I G . El grupo de automorfismo de I G es un grupo abeliano según el argumento de Eckmann-Hilton , escrito Aut ( I G ) o π 2 ( G ).
El grupo fundamental de G actúa a ambos lados de π 2 ( G ), y el asociador de G (como categoría monoidal) define un elemento del grupo de cohomología H 3 (π 1 ( G ), π 2 ( G )). De hecho, los 2 grupos se clasifican de esta manera: dado un grupo π 1 , un grupo abeliano π 2 , una acción grupal de π 1 sobre π 2 y un elemento de H 3 (π 1 , π 2 ), hay un único ( hasta la equivalencia) 2-grupo G con π 1 ( G ) isomorfo a π 1 , π 2 ( G ) isomorfo a π 2 , y los demás datos correspondientes.
El elemento de H 3 (π 1 , π 2 ) asociado a un grupo 2 a veces se denomina invariante Sinh , ya que fue desarrollado por el alumno de Grothendieck , Hoàng Xuân Sính .
2 grupos fundamentales
Dado un espacio topológico X y un punto x en ese espacio, hay un grupo 2 fundamental de X en x , escrito Π 2 ( X , x ). Como categoría monoidal, los objetos son bucles en x , con la multiplicación dada por la concatenación, y los morfismos son BASEPOINT-preservación homotopías entre bucles, con estos morfismos identifican a sí mismos si son homotópico.
Por el contrario, dado cualquier grupo 2 G , uno puede encontrar un espacio conectado puntiagudo único ( hasta una equivalencia de homotopía débil ) (X, x) cuyo grupo 2 fundamental es G y cuyos grupos de homotopía π n son triviales para n > 2. En de esta manera, los 2 grupos clasifican los 2 tipos de homotopía débil conectados puntiagudos. Esta es una generalización de la construcción de espacios Eilenberg – Mac Lane .
Si X es un espacio topológico con punto base x , entonces el grupo fundamental de X en x es el mismo que el grupo fundamental del 2-grupo fundamental de X en x ; es decir,
Este hecho es el origen del término "fundamental" en sus dos instancias de 2 grupos.
Similar,
Por lo tanto, tanto el primer como el segundo grupo de homotopía de un espacio están contenidos dentro de su grupo 2 fundamental. Como este grupo 2 también define una acción de π 1 ( X , x ) sobre π 2 ( X , x ) y un elemento del grupo de cohomología H 3 (π 1 ( X , x ), π 2 ( X , x ) ), estos son precisamente los datos necesarios para formar la torre Postnikov de X si X es un tipo 2 homotopía conectado puntiagudo.
Ver también
Referencias
- John C. Baez y Aaron D. Lauda, Álgebra de dimensión superior V: 2 grupos , Teoría y aplicaciones de las categorías 12 (2004), 423–491.
- John C. Baez y Danny Stevenson, El espacio de clasificación de un 2-grupo topológico .
- R. Brown y PJ Higgins, El espacio de clasificación de un complejo cruzado, Matemáticas. Proc. Camb. Phil. Soc. 110 (1991) 95-120.
- R. Brown , PJ Higgins, R. Sivera, topología algebraica no beliana: espacios filtrados, complejos cruzados, grupos de homotopía cúbica, EMS Tracts in Mathematics Vol. 15, 703 páginas. (2011).
- Hendryk Pfeiffer, 2-Grupos, trialgebras y sus categorías de representaciones Hopf , Adv. Matemáticas. 212 No. 1 (2007) 62–108.
- Hoàng Xuân Sính , Gr-catégories , tesis, 1975.
- Grupóides dobles y 2 tipos de homotopía
enlaces externos
- 2 grupos en nLab
- 2008 Taller de Grupos Categóricos en el Centre de Recerca Matemàtica