En matemáticas , el complejo curva es un complejo simplicial C ( S ) asociada a una de tipo finito superficie S , que codifica la combinatoria de curvas cerradas simples en S . El complejo de curvas resultó ser una herramienta fundamental en el estudio de la geometría del espacio de Teichmüller , del mapeo de grupos de clases y de grupos kleinianos . Fue introducido por WJHarvey en 1978.
Complejos de curvas
Definición
Dejar ser una superficie orientada conectada de tipo finito. Más específicamente, dejemos ser una superficie orientada conectada del género con componentes de frontera y pinchazos.
El complejo de curvas es el complejo simplicial definido de la siguiente manera: [1]
- Los vértices son las clases de homotopía libre de curvas cerradas simples esenciales (ni homotópicamente triviales ni periféricas ) en;
- Si representar distintos vértices de , abarcan un simplex si y solo si pueden homotopearse para ser disjuntos por pares.
Ejemplos de
Para superficies de pequeña complejidad (esencialmente el toro , el toro perforado y la esfera de cuatro agujeros), con la definición por encima del complejo de curvas tiene infinitos componentes conectados. Se puede dar una definición alternativa y más útil uniendo vértices si las curvas correspondientes tienen un número mínimo de intersección. Con esta definición alternativa, el complejo resultante es isomorfo al gráfico de Farey .
Geometría del complejo de curvas
Propiedades básicas
Si es una superficie compacta del género con componentes de frontera la dimensión de es igual a . En lo que sigue, asumiremos que. El complejo de curvas nunca es localmente finito (es decir, cada vértice tiene infinitos vecinos). Un resultado de Harer [2] afirma quees de hecho homotópicamente equivalente a una suma de esferas en cuña .
Números de intersección y distancia en C ( S )
La distancia combinatoria en el esqueleto 1 de está relacionado con el número de intersección entre curvas cerradas simples en una superficie, que es el número más pequeño de intersecciones de dos curvas en las clases de isotopía. Por ejemplo [3]
para dos curvas cerradas simples no disjuntas cualesquiera . Se puede comparar en la otra dirección, pero los resultados son mucho más sutiles (por ejemplo, no existe un límite inferior uniforme incluso para una superficie determinada) y más difíciles de probar. [4]
Hiperbolicidad
Masur y Minsky [5] demostraron que el complejo de curvas es un espacio hiperbólico de Gromov . Trabajos posteriores de varios autores dieron pruebas alternativas de este hecho y mejor información sobre la hiperbolicidad. [4] [6]
Relación con el grupo de la clase de cartografía y el espacio de Teichmüller
Acción del grupo de clases de mapeo
El grupo de clases de mapeo de actúa sobre el complejo de forma natural: actúa sobre los vértices por y esto se extiende a una acción sobre todo el complejo. Esta acción permite probar muchas propiedades interesantes de los grupos de clases de mapeo. [7]
Si bien el grupo de clases de mapeo en sí no es un grupo hiperbólico , el hecho de quees hiperbólico todavía tiene implicaciones para su estructura y geometría. [8] [9]
Comparación con el espacio de Teichmüller
Existe un mapa natural desde el espacio de Teichmüller hasta el complejo de curvas, que lleva una marcada estructura hiperbólica al conjunto de curvas cerradas realizando la menor longitud posible (la sístole ). Permite leer ciertas propiedades geométricas de este último, en particular explica el hecho empírico de que si bien el espacio de Teichmüller en sí no es hiperbólico, conserva ciertas características de hiperbolicidad.
Aplicaciones a la topología tridimensional
Heegaard splittings
Un simplex en determina un "llenado" de a un cuerpo de manija. Elegir dos simples enasí determina una división de Heegaard de una variedad de tres, [10] con los datos adicionales de un diagrama de Heegaard (un sistema máximo de discos delimitadores de curvas cerradas simples disjuntos para cada uno de los dos mangos). Algunas propiedades de las divisiones de Heegaard se pueden leer de manera muy eficiente a partir de las posiciones relativas de los simples:
- la división es reducible si y solo si tiene un diagrama representado por simples que tienen un vértice común;
- la división es débilmente reducible si y solo si tiene un diagrama representado por simples que están unidos por un borde.
En general, la distancia mínima entre los simples que representan el diagrama para la división puede proporcionar información sobre la topología y la geometría (en el sentido de la conjetura de geometrización de la variedad) y viceversa. [10] Un principio rector es que la distancia mínima de una división de Heegaard es una medida de la complejidad de la variedad. [11]
Grupos kleinianos
Como caso especial de la filosofía del párrafo anterior, la geometría del complejo de curvas es una herramienta importante para vincular propiedades combinatorias y geométricas de 3 variedades hiperbólicas y, por tanto, es una herramienta útil en el estudio de grupos kleinianos. [12] Por ejemplo, se ha utilizado en la prueba de la conjetura de laminación final . [13] [14]
Colectores aleatorios
Un modelo posible para 3 variedades aleatorias es tomar divisiones de Heegaard aleatorias. [15] La prueba de que este modelo es hiperbólico casi seguramente (en cierto sentido) utiliza la geometría del complejo de curvas. [dieciséis]
Notas
- ^ Farb y Margalit, cap. 4.1, pág. 92
- ↑ Harer, John L. (1 de febrero de 1986). "La dimensión cohomológica virtual del grupo de clases cartográficas de una superficie orientable". Inventiones Mathematicae . 84 (1): 157-176. Código Bibliográfico : 1986InMat..84..157H . doi : 10.1007 / BF01388737 . ISSN 0020-9910 . S2CID 121871169 .
- ^ Schleimer , 2006 , Lema 1.21.
- ↑ a b Bowditch, 2006 .
- ^ Masur y Minsky 1999 .
- ^ Aougab, Tarik (2013). "Hiperbolicidad uniforme de los gráficos de curvas". Geom. Topol . 17 (5): 2855-2875. arXiv : 1212.3160 . doi : 10.2140 / gt.2013.17.2855 . Señor 3190300 . S2CID 55100877 .
- ^ Ivanov 1992 , Capítulo 7.
- ^ Manganas, Johanna (2010). "Crecimiento exponencial uniforme uniforme de subgrupos del grupo de clase de mapeo". Geom. Funct. Anal . 19 (5): 1468-1480. arXiv : 0805.0133 . doi : 10.1007 / s00039-009-0038-y . Señor 2585580 . S2CID 15662174 .
- ^ Dahmani, François; Guirardel, Vincent; Osin, Denis. "Subgrupos hiperbólicamente embebidos y familias rotativas en grupos que actúan sobre espacios hiperbólicos" . Cite journal requiere
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( ayuda ) - ^ a b Hempel, 2001 .
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Referencias
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- Masur, Howard A .; Minsky, Yair N. (1999). "Geometría del complejo de curvas. I. Hiperbolicidad". Inventar. Matemáticas . 138 (1): 103-149. arXiv : matemáticas / 9804098 . Código Bibliográfico : 1999InMat.138..103M . doi : 10.1007 / s002220050343 . Señor 1714338 . S2CID 16199015 .
- Schleimer, Saul (2006). "Notas sobre el complejo de curvas" (PDF) .
- Benson Farb y Dan Margalit, Introducción a la cartografía de grupos de clase . Princeton Mathematical Series, 49. Princeton University Press , Princeton, Nueva Jersey, 2012. ISBN 978-0-691-14794-9