En matemáticas, la conjetura de geometrización de Thurston establece que cada uno de ciertos espacios topológicos tridimensionales tiene una estructura geométrica única que se puede asociar con él. Es un análogo del teorema de uniformización para superficies bidimensionales , que establece que a cada superficie de Riemann simplemente conectada se le puede dar una de tres geometrías ( euclidiana , esférica o hiperbólica ). En tres dimensiones, no siempre es posible asignar una única geometría a todo un espacio topológico. En cambio, la conjetura de geometrización establece que cada 3-variedad cerradase puede descomponer de manera canónica en piezas que tienen cada una uno de los ocho tipos de estructura geométrica. La conjetura fue propuesta por William Thurston ( 1982 ), e implica varias otras conjeturas, como la conjetura de Poincaré y la conjetura de eliptización de Thurston .
El teorema de hiperbolización de Thurston implica que las variedades de Haken satisfacen la conjetura de geometrización. Thurston anunció una prueba en la década de 1980 y desde entonces han aparecido impresas varias pruebas completas.
Grigori Perelman esbozó una prueba de la conjetura de la geometrización completa en 2003 utilizando el flujo de Ricci con cirugía . Ahora hay varios manuscritos diferentes (ver más abajo) con detalles de la prueba. La conjetura de Poincaré y la conjetura de la forma del espacio esférico son corolarios de la conjetura de geometrización, aunque hay pruebas más cortas de la primera que no conducen a la conjetura de geometrización.
Cada 3-variedad cerrada tiene una descomposición en primos : esto significa que es la suma conectada de 3-variedades primos (esta descomposición es esencialmente única excepto por un pequeño problema en el caso de variedades no orientables ). Esto reduce gran parte del estudio de las 3 variedades al caso de las 3 variedades principales: aquellas que no se pueden escribir como una suma conectada no trivial.
Hay 8 posibles estructuras geométricas en 3 dimensiones, descritas en la siguiente sección. Hay una forma mínima única de cortar una variedad 3 irreducible orientada a lo largo de los toros en piezas que son variedades de Seifert o atoroidales llamada descomposición JSJ , que no es exactamente lo mismo que la descomposición en la conjetura de geometrización, porque algunas de las piezas en la La descomposición JSJ podría no tener estructuras geométricas de volumen finito. (Por ejemplo, el toro de mapeo de un mapa de Anosov de un toro tiene una estructura de solución de volumen finito, pero su descomposición JSJ lo abre a lo largo de un toro para producir un producto de un toro y un intervalo unitario, y el interior de esto no tiene estructura geométrica de volumen finito).
Para variedades no orientadas, la forma más fácil de enunciar una conjetura de geometrización es tomar primero la cubierta doble orientada . También es posible trabajar directamente con variedades no orientables, pero esto genera algunas complicaciones adicionales: puede ser necesario cortar a lo largo de planos proyectivos y botellas de Klein , así como esferas y toros, y las variedades con un componente de límite de plano proyectivo generalmente no tienen estructura geométrica.