En el campo matemático de la topología geométrica , una división de Heegaard (en danés: [ˈhe̝ˀˌkɒˀ] ( escuchar ) ) es una descomposición de un colector de 3 orientado compacto que resulta de dividirlo en dos mangos .
Definiciones
Deje que V y W sean handlebodies de género g , y permiten ƒ ser una orientación de marcha atrás homeomorfismo desde el límite de V hasta el límite de W . Al pegar V a W a lo largo de ƒ obtenemos el colector de 3 orientado compacto
Todos los tres colectores cerrados orientables pueden obtenerse así; esto se sigue de los resultados profundos sobre la triangulabilidad de tres variedades debido a Moise . Esto contrasta fuertemente con las variedades de dimensiones superiores que no necesitan admitir estructuras lineales lisas o por partes. Suponiendo suavidad, la existencia de una división de Heegaard también se deriva del trabajo de Smale sobre las descomposiciones de mango de la teoría de Morse.
La descomposición de M en dos mangos se llama división de Heegaard , y su límite común H se llama superficie de Heegaard de la división. Las divisiones se consideran hasta la isotopía .
Sólo el mapa encolado necesidad ƒ especificarse hasta tomar una doble clase lateral en el grupo de la clase de asignación de H . Esta conexión con el grupo de clases de mapeo fue realizada por primera vez por WBR Lickorish .
Las divisiones Heegaard también se pueden definir para colectores compactos de 3 con límite reemplazando los mangos por cuerpos de compresión . El mapa de encolado se encuentra entre los límites positivos de los cuerpos de compresión.
Una curva cerrada se llama esencial si no es homotópica a un punto, un pinchazo o un componente de frontera. [1]
Una división de Heegaard es reducible si hay una curva cerrada simple esencialen H que limita un disco tanto en V y en W . Una escisión es irreductible si no es reducible. Se sigue del Lema de Haken que en una variedad reducible toda división es reducible.
Una división de Heegaard se estabiliza si hay curvas cerradas simples esenciales y en H dondelimita un disco en V ,limita un disco en W , y y se cruzan exactamente una vez. Se deduce del teorema de Waldhausen que se estabiliza toda división reducible de una variedad irreducible .
Una división de Heegaard es débilmente reducible si hay curvas cerradas simples esenciales disjuntas y en H dondelimita un disco en V ydelimita un disco en W . Una escisión es fuertemente irreductible si no es débilmente reducible.
Una división de Heegaard es un género mínimo o mínimo si no hay otra división de las tres variedades ambientales del género inferior . El valor mínimo g de la superficie de separación es el género Heegaard de M .
División de Heegaard generalizada
Una división de Heegaard generalizada de M es una descomposición en cuerpos de compresión y superficies tal que y . Los interiores de los cuerpos de compresión deben estar separados por pares y su unión debe ser. La superficie forma una superficie Heegaard para el sub-colector de . (Tenga en cuenta que aquí se permite que cada V i y W i tenga más de un componente).
Una escisión de Heegaard generalizada se denomina fuertemente irreducible si cada es fuertemente irreductible.
Existe una noción análoga de posición delgada , definida por nudos, para escisiones de Heegaard. La complejidad de una superficie conectada S , c (S) , se define como; la complejidad de una superficie desconectada es la suma de las complejidades de sus componentes. La complejidad de una división de Heegaard generalizada es el conjunto múltiple {c (S_i)} , donde el índice corre sobre las superficies de Heegaard en la división generalizada. Estos conjuntos múltiples se pueden ordenar bien por orden lexicográfico (decreciente monótonamente). Una división de Heegaard generalizada es delgada si su complejidad es mínima.
Ejemplos de
Tres esferas : las tres esferas es el conjunto de vectores en con longitud uno. Intersección de esto con elhiperplano da una esfera de dos . Esta es la división estándar de género cero de. Por el contrario, según el truco de Alexander , todas las variedades que admiten una división del género cero son homeomórficas para.
Bajo la identificación habitual de con podemos ver como viviendo en . Entonces el conjunto de puntos donde cada coordenada tiene normaforma un toro de Clifford ,. Este es el género estándar una división de. (Véase también la discusión en el paquete Hopf ).
Estabilización : Dado un Heegaard que divide H en M, la estabilización de H se forma tomando la suma conectada del par con la pareja . Es fácil demostrar que el procedimiento de estabilización produce escisiones estabilizadas. Inductivamente, una división es estándar si es la estabilización de una división estándar.
Espacios de lentes : todos tienen una división estándar del género uno. Esta es la imagen del toro de Clifford enbajo el mapa de cocientes utilizado para definir el espacio de la lente en cuestión. Se deduce de la estructura del grupo de clases de mapeo de los dos toros que solo los espacios de lentes tienen divisiones del género uno.
Tres toro : recuerde que el tres toroes el producto cartesiano de tres copias de( círculos ). Dejar ser un punto de y considera la gráfica . Es un ejercicio fcil mostrar que V , un vecindario regular de, es un mango como es . Así, el límite de V en es una división de Heegaard y esta es la división estándar de . Charles Frohman y Joel Hass demostraron que cualquier otra división del género 3 Heegaard de los tres toros es topológicamente equivalente a este. Michel Boileau y Jean-Pierre Otal demostraron que, en general, cualquier división de Heegaard de los tres toros equivale al resultado de estabilizar este ejemplo.
Teoremas
Lema de Alexander : Hasta la isotopía, hay una incrustación única ( lineal a trozos ) de las dos esferas en las tres esferas. (En dimensiones superiores, esto se conoce como el teorema de las moscas de Schoen . En la dimensión dos, es el teorema de la curva de Jordan ). es único.
Teorema de Waldhausen : cada división de se obtiene estabilizando la división única del género cero.
Supongamos ahora que M es una variedad triple orientable cerrada.
Teorema de Reidemeister-Singer : para cualquier par de escisiones y en M hay una tercera divisiónen M que es una estabilización de ambos.
Lema de Haken : Suponga quees una esencial de dos esferas en M y H es una división de Heegaard. Entonces hay una esfera esencial de dosen M se encuentra con H en una sola curva.
Clasificaciones
Hay varias clases de tres variedades en las que se conoce por completo el conjunto de escisiones de Heegaard. Por ejemplo, el teorema de Waldhausen muestra que todas las escisiones deson estándar. Lo mismo ocurre con los espacios para lentes (como lo demostraron Francis Bonahon y Otal).
Las divisiones de los espacios de fibra Seifert son más sutiles. Aquí, todos los desdoblamientos pueden isotópicamente ser verticales u horizontales (como lo demostraron Yoav Moriah y Jennifer Schultens ).
Cooper y Scharlemann (1999) clasificaron las divisiones de haces toroides ( que incluye los tres colectores con geometría Sol ). De su trabajo se deduce que todos los haces de torus tienen una división única de género mínimo. Todas las demás divisiones del haz toro son estabilizaciones del género mínimo uno.
A partir de 2008, los únicos tres colectores hiperbólicos cuyas divisiones de Heegaard se clasifican son complementos de nudos de dos puentes, en un artículo de Tsuyoshi Kobayashi.
Aplicaciones y conexiones
Superficies mínimas
Las escisiones de Heegaard aparecieron en la teoría de las superficies mínimas por primera vez en el trabajo de Blaine Lawson, quien demostró que las superficies mínimas incrustadas en colectores compactos de curvatura seccional positiva son escisiones de Heegaard. William Meeks extendió este resultado a colectores planos, excepto que demuestra que una superficie mínima incrustada en un tres colectores plano es una superficie Heegaard o totalmente geodésica .
Meeks y Shing-Tung Yau utilizaron los resultados de Waldhausen para probar resultados sobre la singularidad topológica de superficies mínimas de género finito en. La clasificación topológica final de superficies mínimas incrustadas enfue impartido por Meeks y Frohman. El resultado se basó en gran medida en técnicas desarrolladas para estudiar la topología de las escisiones de Heegaard.
Homología Heegaard Floer
Los diagramas de Heegaard, que son descripciones combinatorias simples de las escisiones de Heegaard, se han utilizado ampliamente para construir invariantes de tres variedades. El ejemplo más reciente de esto es la homología Heegaard Floer de Peter Ozsvath y Zoltán Szabó . La teoría utiliza elproducto simétrico de una superficie de Heegaard como el espacio ambiental, y toros construidos a partir de los límites de los discos meridianos para los dos mangos como las subvariedades lagrangianas .
Historia
La idea de una escisión de Heegaard fue introducida por Poul Heegaard ( 1898 ). Si bien las escisiones de Heegaard fueron estudiadas extensamente por matemáticos como Wolfgang Haken y Friedhelm Waldhausen en la década de 1960, no fue hasta algunas décadas más tarde que Andrew Casson y Cameron Gordon ( 1987 ) rejuvenecieron el campo , principalmente a través de su concepto de fuerte irreductibilidad .
Ver también
- Descomposición del colector
- Manejar descomposiciones de 3 colectores
- Cuerpo de compresión
Referencias
- ^ Farb, B .; Margalit, D. Introducción a la cartografía de grupos de clases . Prensa de la Universidad de Princeton. pag. 22.
- Farb, Benson ; Margalit, Dan, A Primer on Mapping Class Groups , Princeton University Press
- Casson, Andrew J .; Gordon, Cameron McA. (1987), "Reducción de divisiones de Heegaard", Topología y sus aplicaciones , 27 (3): 275-283, doi : 10.1016 / 0166-8641 (87) 90092-7 , ISSN 0166-8641 , MR 0918537
- Cooper, Daryl; Scharlemann, Martin (1999), "The structure of a solvmanifold's Heegaard splittings" , Turkish Journal of Mathematics , 23 (1): 1–18, ISSN 1300-0098 , MR 1701636 , archivado desde el original el 22 de agosto de 2011 , recuperado 2020-01-11
- Heegaard, Poul (1898), Forstudier til en topologisk Teori for de algebraiske Fladers Sammenhang (PDF) , Thesis (en danés), JFM 29.0417.02
- Hempel, John (1976), 3 variedades , Annals of Mathematics Studies, 86 , Princeton University Press , ISBN 978-0-8218-3695-8, MR 0415619