Representación cúspide
En teoría de números , las representaciones cúspides son ciertas representaciones de grupos algebraicos que ocurren discretamente en espacios. El término cúspide se deriva, a cierta distancia, de las formas cúspide de la teoría clásica de la forma modular . En la formulación contemporánea de representaciones automórficas , las representaciones toman el lugar de funciones holomórficas ; estas representaciones pueden ser de grupos algebraicos adelicos .
Cuando el grupo es el grupo lineal general , las representaciones de las cúspides están directamente relacionadas con las formas de las cúspides y las formas de Maass . Para el caso de las formas de las cúspides, cada forma propia de Hecke ( nueva forma ) corresponde a una representación cúspide.
Deje que G sea una reductora grupo algebraica sobre un campo de número de K y dejar que A denota los adeles de K . El grupo G ( K ) se incrusta diagonalmente en el grupo G ( A ) enviando g en G ( K ) a la tupla ( g p ) p en G ( A ) con g = g p para todos los primos (finitos e infinitos) p . Deje que Z denote elcentro de G y sea ω un carácter unitario continuo desde Z ( K ) \ Z ( A ) × a C × . Fijar un medida de Haar en G ( A ) y dejar que L 2 0 ( G ( K ) \ G ( A ), ω) denotar el espacio de Hilbert de complejos -valued funciones medibles , f , en G ( A ) que satisface
El espacio vectorial L 2 0 ( G ( K ) \ G ( A ), ω) se denomina espacio de formas de cúspide con el carácter central ω en G ( A ). Una función que aparece en dicho espacio se llama función cúspide .
Una función cuspidal genera una representación unitaria del grupo G ( A ) en el complejo espacio de Hilbert generado por la traslación derecha de f . Aquí la acción de g ∈ G ( A ) en está dada por
donde la suma es sobre subrepresentaciones irreductibles de L 2 0 ( G ( K ) \ G ( A ), ω) y m π son enteros positivos (es decir, cada subrepresentación irreducible ocurre con multiplicidad finita ). Una representación cúspide de G ( A ) es una subrepresentación ( π , V π ) para algunos ω .