En matemáticas , la integral de Daniell es un tipo de integración que generaliza el concepto de versiones más elementales, como la integral de Riemann, a la que los estudiantes suelen presentarse por primera vez. Una de las principales dificultades con la formulación tradicional de la integral de Lebesgue es que requiere el desarrollo inicial de una teoría de medida viable antes de que se puedan obtener resultados útiles para la integral. Sin embargo, existe un enfoque alternativo, desarrollado por Percy J. Daniell ( 1918) que no sufre de esta deficiencia, y tiene algunas ventajas significativas sobre la formulación tradicional, especialmente porque la integral se generaliza en espacios de dimensiones superiores y otras generalizaciones como la integral de Stieltjes . La idea básica implica la axiomatización de la integral.
Axiomas
Empezamos eligiendo una familia de funciones reales acotadas (llamadas funciones elementales ) definidas sobre un conjunto, que satisface estos dos axiomas:
- es un espacio lineal con las operaciones habituales de suma y multiplicación escalar.
- Si una función es en , también lo es su valor absoluto .
Además, a cada función h en H se le asigna un número real, que se llama integral elemental de h , satisfaciendo estos tres axiomas:
- Linealidad
- Si h y k están ambos en H, y y son dos números reales cualesquiera, entonces .
- No negatividad
- Si , luego .
- Continuidad
- Si es una secuencia no creciente (es decir ) de funciones en que converge a 0 para todos en , luego .
o (más comúnmente)
- Si es una secuencia creciente (es decir ) de funciones en que converge ah para todos en , luego .
Es decir, definimos un funcional lineal no negativo continuo. sobre el espacio de funciones elementales.
Estas funciones elementales y sus integrales elementales pueden ser cualquier conjunto de funciones y definiciones de integrales sobre estas funciones que satisfacen estos axiomas. La familia de todas las funciones escalonadas satisface evidentemente los axiomas anteriores para funciones elementales. Definir la integral elemental de la familia de funciones escalonadas como el área (con signo) debajo de una función escalonada evidentemente satisface los axiomas dados para una integral elemental. La aplicación de la construcción de la integral de Daniell descrita más adelante usando funciones escalonadas como funciones elementales produce una definición de una integral equivalente a la integral de Lebesgue. También es posible usar la familia de todas las funciones continuas como funciones elementales y la integral de Riemann tradicional como integral elemental, sin embargo, esto producirá una integral que también es equivalente a la definición de Lebesgue. Al hacer lo mismo, pero utilizando la integral de Riemann-Stieltjes , junto con una función apropiada de variación acotada , se obtiene una definición de integral equivalente a la integral de Lebesgue-Stieltjes .
Los conjuntos de medidas cero se pueden definir en términos de funciones elementales como sigue. Un conjunto que es un subconjunto de es un conjunto de medida cero si para cualquier , existe una secuencia no decreciente de funciones elementales no negativas en H tal que y en .
Un conjunto se denomina conjunto de medida completa si su complemento, relativo a, es un conjunto de medida cero. Decimos que si alguna propiedad se cumple en todos los puntos de un conjunto de medida completa (o de manera equivalente en todas partes excepto en un conjunto de medida cero), se mantiene en casi todas partes .
Definición
Aunque el resultado final es el mismo, diferentes autores construyen la integral de manera diferente. Un enfoque común es comenzar con la definición de una clase más grande de funciones, basadas en nuestras funciones elementales elegidas, la clase, que es la familia de todas las funciones que son el límite de una secuencia no decreciente de funciones elementales, de modo que el conjunto de integrales está ligado. La integral de una función en Se define como:
Se puede demostrar que esta definición de integral está bien definida, es decir, no depende de la elección de la secuencia. .
Sin embargo, la clase en general, no está cerrado bajo resta y multiplicación escalar por números negativos; es necesario ampliarlo aún más mediante la definición de una clase más amplia de funciones con estas propiedades.
El método de Daniell (1918), descrito en el libro de Royden, equivale a definir la integral superior de una función general. por
donde el infimum se apodera de todos en con . La integral inferior se define de manera similar o brevemente como. Finalmente Consiste en aquellas funciones cuyas integrales superior e inferior son finitas y coinciden, y
Una ruta alternativa, basada en un descubrimiento de Frederic Riesz, se toma en el libro de Shilov y Gurevich y en el artículo de Encyclopedia of Mathematics. Aquí consta de esas funciones que se puede representar en un conjunto de compás completo (definido en la sección anterior) como la diferencia , para algunas funciones y en la clase . Entonces la integral de una función Puede ser definido como:
Nuevamente, se puede demostrar que esta integral está bien definida, es decir, no depende de la descomposición de dentro y . Esto resulta ser equivalente a la integral de Daniell original.
Propiedades
Casi todos los teoremas importantes de la teoría tradicional de la integral de Lebesgue, como el teorema de convergencia dominado de Lebesgue , el teorema de Riesz-Fischer , el lema de Fatou y el teorema de Fubini también pueden demostrarse fácilmente usando esta construcción. Sus propiedades son idénticas a las de la tradicional integral de Lebesgue.
Medición
Debido a la correspondencia natural entre conjuntos y funciones, también es posible utilizar la integral de Daniell para construir una teoría de medidas . Si tomamos la función característica de algún conjunto, entonces su integral puede tomarse como la medida del conjunto. Se puede demostrar que esta definición de medida basada en la integral de Daniell es equivalente a la medida tradicional de Lebesgue .
Ventajas sobre la formulación tradicional
Este método de construcción de la integral general tiene algunas ventajas sobre el método tradicional de Lebesgue, particularmente en el campo del análisis funcional . Las construcciones de Lebesgue y Daniell son equivalentes, como se señaló anteriormente, si se eligen funciones escalonadas ordinarias de valores finitos como funciones elementales. Sin embargo, cuando uno intenta extender la definición de la integral a dominios más complejos (por ejemplo, al intentar definir la integral de un funcional lineal ), uno se encuentra con dificultades prácticas utilizando la construcción de Lebesgue que se alivian con el enfoque de Daniell.
El matemático polaco Jan Mikusinski ha realizado una formulación alternativa y más natural de la integración de Daniell utilizando la noción de serie absolutamente convergente. Su formulación funciona para la integral de Bochner (la integral de Lebesgue para mapeos que toman valores en espacios de Banach ). El lema de Mikusinski permite definir la integral sin mencionar conjuntos nulos . También demostró el teorema del cambio de variables para múltiples integrales de Bochner y el teorema de Fubini para integrales de Bochner usando la integración de Daniell. El libro de Asplund y Bungart presenta un tratamiento lúcido de este enfoque para funciones de valor real. También ofrece una prueba de un teorema abstracto de Radon-Nikodym utilizando el enfoque de Daniell-Mikusinski .
Ver también
Referencias
- Ash, Robert B. (1972). "La interacción entre la teoría de la medida y la topología". Análisis real y probabilidad . Nueva York: Academic Press. págs. 168-200. ISBN 0-12-065201-3.
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- Haberman, Shelby J. (1996). "Construcción de Daniell Integrals" . Estadísticas avanzadas . Nueva York: Springer. págs. 199-263. ISBN 0-387-94717-5.
- Royden, HL (1988). "El Daniell Integral". Análisis real (3ª ed.). Acantilados de Englewood: Prentice Hall. págs. 419–434. ISBN 0-02-404151-3.
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- Asplund, Edgar; Bungart, Lutz (1966). Un primer curso de integración . Nueva York: Holt, Rinehart y Winston.
- Sobolev, VI (2001) [1994], "Daniell integral" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Taylor, AE (1985) [1965]. Teoría general de funciones e integración . Dover. ISBN 0-486-64988-1.