La derivada de Darboux de un mapa entre una variedad y un grupo de Lie es una variante de la derivada estándar. Podría decirse que es una generalización más natural de la derivada de una sola variable. Permite una generalización del teorema fundamental del cálculo de una sola variable a dimensiones superiores, en una línea diferente a la generalización que es el teorema de Stokes .
Definicion formal
Dejar ser un grupo de mentiras , y dejarsea su álgebra de mentira . La forma Maurer-Cartan ,, es el suave -valorado -formular en (cf. Forma valorada del álgebra de Lie ) definida por
para todos y . Aquí denota multiplicación a la izquierda por el elemento y es su derivada en .
Dejar ser una función suave entre un colector suave y . Entonces el derivado de Darboux de es el suave -valorado -formulario
el retroceso de por . El mapase llama integral o primitiva de.
¿Más natural?
La razón por la que se podría llamar a la derivada de Darboux una generalización más natural de la derivada del cálculo de una sola variable es la siguiente. En cálculo de una sola variable, la derivada de una función asigna a cada punto del dominio un solo número. De acuerdo con las múltiples ideas más generales de derivadas, la derivada asigna a cada punto del dominio un mapa lineal desde el espacio tangente en el punto del dominio hasta el espacio tangente en el punto de la imagen. Esta derivada encapsula dos piezas de datos: la imagen del punto de dominio y el mapa lineal. En el cálculo de una sola variable, descartamos cierta información. Retenemos solo el mapa lineal, en forma de un agente multiplicador escalar (es decir, un número).
Una forma de justificar esta convención de retener solo el aspecto de mapa lineal de la derivada es apelar a la (muy simple) estructura de grupo de Lie de bajo adición. El paquete tangente de cualquier grupo de Lie se puede trivializar mediante la multiplicación por la izquierda (o la derecha). Esto significa que cada espacio tangente en puede identificarse con el espacio tangente en la identidad, , que es el álgebra de Lie de. En este caso, la multiplicación por la izquierda y la derecha son simplemente traducción. Al componer posteriormente la derivada de tipo múltiple con la trivialización del espacio tangente, para cada punto del dominio obtenemos un mapa lineal desde el espacio tangente en el punto del dominio hasta el álgebra de Lie de. En símbolos, para cada miramos el mapa
Dado que los espacios tangentes involucrados son unidimensionales, este mapa lineal es solo una multiplicación por algún escalar. (Este escalar puede cambiar dependiendo de la base que usemos para los espacios vectoriales, pero el campo de vector unitario canónico en da una elección canónica de base, y por lo tanto una elección canónica de escalar.) Este escalar es lo que normalmente denotamos por .
Singularidad de los primitivos
Si el colector está conectado, y son ambas primitivas de , es decir , entonces existe una constante tal que
- para todos .
Esta constante es, por supuesto, el análogo de la constante que aparece al tomar una integral indefinida .
El teorema fundamental del cálculo
La ecuación estructural para la forma de Maurer-Cartan es:
Esto significa que para todos los campos vectoriales y en y todo , tenemos
Para cualquier álgebra de Lie valorada -forma en cualquier variedad suave, todos los términos en esta ecuación tienen sentido, por lo que para cualquier forma de este tipo podemos preguntar si satisface o no esta ecuación estructural.
El teorema fundamental habitual del cálculo para el cálculo de una sola variable tiene la siguiente generalización local.
Si un -valorado -formulario en satisface la ecuación estructural, entonces cada punto tiene un vecindario abierto y un mapa suave tal que
es decir tiene un primitivo definido en una vecindad de cada punto de .
Para una generalización global del teorema fundamental, es necesario estudiar ciertas preguntas de monodromía en y .
Referencias
- RW Sharpe (1996). Geometría diferencial: generalización de Cartan del programa Erlangen de Klein . Springer-Verlag, Berlín. ISBN 0-387-94732-9.
- Shlomo Sternberg (1964). "Capítulo V, Grupos de Lie. Sección 2, Formas invariantes y el álgebra de Lie". Conferencias de geometría diferencial . Prentice Hall. OCLC 529176 .