En geometría diferencial, una forma valorada por el álgebra de Lie es una forma diferencial con valores en un álgebra de Lie . Tales formas tienen aplicaciones importantes en la teoría de conexiones en un paquete principal , así como en la teoría de conexiones de Cartan .
Dado que cada álgebra de Lie tiene una operación de paréntesis de Lie bilineal , el producto de cuña de dos formas valoradas en álgebra de Lie se puede componer con la operación de paréntesis para obtener otra forma valorada en álgebra de Lie. Para-valued p -form y un -valued q -form, su producto de cuña es dado por
donde los v i son vectores tangentes. La notación está destinada a indicar ambas operaciones involucradas. Por ejemplo, si y son formas valoradas en álgebra de Lie, entonces uno tiene
La operacion también se puede definir como la operación bilineal en satisfactorio
para todos y .
Algunos autores han utilizado la notación en vez de . La notación, que se asemeja a un conmutador , se justifica por el hecho de que si el álgebra de Lie es un álgebra matricial entonces no es más que el conmutador graduado de y , es decir, si y luego
dónde son productos de cuña formados usando la multiplicación de matrices en .
Dejar ser un homomorfismo de álgebra de Lie . Si φ es un-valuada en una variedad, entonces f (φ) es una-forma valorada en la misma variedad obtenida aplicando f a los valores de φ:.
De manera similar, si f es un funcional multilineal en, luego se pone [1]
donde q = q 1 +… + q k y φ i son-formas q i valoradas. Por otra parte, dado un espacio vectorial V , la misma fórmula puede utilizarse para definir la V forma -valued Cuándo
es un mapa multilineal, φ es un forma valorada y η es una forma valorada en V. Tenga en cuenta que, cuando
- (*) f ([ x , y ], z ) = f ( x , f ( y , z )) - f ( y , f ( x , z )),
dar f equivale a dar una acción deen V ; es decir, f determina la representación
y, a la inversa, cualquier representación ρ determina f con la condición (*). Por ejemplo, si (el soporte de ), recuperamos la definición de dado arriba, con ρ = ad, la representación adjunta . (Tenga en cuenta que la relación entre f y ρ anterior es, por lo tanto, como la relación entre un paréntesis y ad).
En general, si α es un-forma p -valuada y φ es una forma q -valuada en V , entonces uno escribe más comúnmente α⋅φ = f (α, φ) cuando f ( T , x ) = Tx . Explícitamente,
Con esta notación, uno tiene por ejemplo:
- .
Ejemplo: si ω es un -valuado de una forma (por ejemplo, una forma de conexión ), ρ una representación deen un espacio vectorial V y φ una forma cero valorada en V , entonces
- [2]