En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una topología de Grothendieck es una estructura en una categoría C que hace que los objetos de C actúen como los conjuntos abiertos de un espacio topológico . Una categoría junto con una elección de topología de Grothendieck se denomina sitio .
Las topologías de Grothendieck axiomatizan la noción de una cubierta abierta . Usando la noción de cobertura proporcionada por una topología de Grothendieck, es posible definir poleas en una categoría y su cohomología . Esto fue hecho por primera vez en geometría algebraica y teoría de números algebraicos por Alexander Grothendieck para definir la cohomología étale de un esquema . Se ha utilizado para definir otras teorías de cohomología desde entonces, como la cohomología ℓ-ádica , la cohomología plana y la cohomología cristalina.. Si bien las topologías de Grothendieck se utilizan con mayor frecuencia para definir teorías de cohomología, también han encontrado otras aplicaciones, como la teoría de la geometría analítica rígida de John Tate .
Existe una forma natural de asociar un sitio a un espacio topológico ordinario , y la teoría de Grothendieck se considera vagamente como una generalización de la topología clásica. Bajo hipótesis exiguas y puntuales, a saber, la sobriedad , esto es completamente exacto: es posible recuperar un espacio sobrio de su sitio asociado. Sin embargo, ejemplos simples como el espacio topológico indiscreto muestran que no todos los espacios topológicos pueden expresarse utilizando topologías de Grothendieck. Por el contrario, existen topologías de Grothendieck que no proceden de espacios topológicos.
El término "topología de Grothendieck" ha cambiado de significado. En Artin (1962) significaba lo que ahora se llama una pretopología de Grothendieck, y algunos autores todavía usan este antiguo significado. Giraud (1964) modificó la definición para usar tamices en lugar de cubiertas. La mayor parte del tiempo esto no hace mucha diferencia, ya que cada pretopología de Grothendieck determina una topología de Grothendieck única, aunque pretopologías bastante diferentes pueden dar la misma topología.
Las famosas conjeturas de André Weil proponían que ciertas propiedades de las ecuaciones con coeficientes integrales deberían entenderse como propiedades geométricas de la variedad algebraica que definen. Sus conjeturas postulaban que debería haber una teoría de cohomología de variedades algebraicas que proporcione información de la teoría de números sobre sus ecuaciones definitorias. Esta teoría de la cohomología se conocía como la "cohomología de Weil", pero utilizando las herramientas que tenía disponibles, Weil no pudo construirla.
A principios de la década de 1960, Alexander Grothendieck introdujo los mapas étale en la geometría algebraica como análogos algebraicos de los isomorfismos analíticos locales en la geometría analítica . Usó revestimientos de étale para definir un análogo algebraico del grupo fundamental de un espacio topológico. Pronto Jean-Pierre Serre advirtió que algunas propiedades de los revestimientos étale imitaban a las de las inmersiones abiertas y, en consecuencia, era posible realizar construcciones que imitaban el functor de cohomología H 1. Grothendieck vio que sería posible utilizar la idea de Serre para definir una teoría de cohomología que sospechaba que sería la cohomología de Weil. Para definir esta teoría de la cohomología, Grothendieck necesitaba reemplazar la noción topológica habitual de una cubierta abierta por una que usara cubiertas étale en su lugar. Grothendieck también vio cómo formular la definición de cobertura de manera abstracta; aquí es de donde proviene la definición de una topología de Grothendieck.