En matemáticas , la localización de una categoría consiste en agregar a una categoría morfismos inversos para alguna colección de morfismos, obligándolos a convertirse en isomorfismos . Esto es formalmente similar al proceso de localización de un anillo ; en general, hace que los objetos sean isomorfos que no lo eran antes. En la teoría de la homotopía , por ejemplo, hay muchos ejemplos de mapeos que son invertibles hasta la homotopía; y clases tan grandes de espacios equivalentes de homotopía [ aclaración necesaria ] . Cálculo de fracciones es otro nombre para trabajar en una categoría localizada.
Introducción y motivación
Una categoría C consta de objetos y morfismos entre estos objetos. Los morfismos reflejan relaciones entre los objetos. En muchas situaciones, es significativo reemplazar C por otra categoría C ' en la que ciertos morfismos se ven obligados a ser isomorfismos. Este proceso se llama localización.
Por ejemplo, en la categoría de R - módulos (para algún anillo conmutativo fijo R ) la multiplicación por un elemento fijo r de R es típicamente (es decir, a menos que r sea una unidad ) no un isomorfismo:
La categoría que está más estrechamente relacionada con los módulos R , pero donde este mapa es un isomorfismo resulta ser la categoría de-módulos. Aquíes la localización de R con respecto al subconjunto (multiplicativamente cerrado) S que consta de todas las potencias de r ,La expresión "más estrechamente relacionado" se formaliza mediante dos condiciones: primero, hay un funtor
enviar cualquier R -módulo a su localización con respecto a S . Además, dada cualquier categoría C y cualquier functor
enviando el mapa de multiplicación por r en cualquier módulo R (ver arriba) a un isomorfismo de C , hay un functor único
tal que .
Localización de categorías
Los ejemplos anteriores de localización de módulos R se resumen en la siguiente definición. En esta forma, se aplica en muchos más ejemplos, algunos de los cuales se describen a continuación.
Dada una categoría C y alguna clase W de morfismos en C , la localización C [ W -1 ] es otra categoría que se obtiene invirtiendo todos los morfismos en W . Más formalmente, se caracteriza por una propiedad universal : hay un functor de localización natural C → C [ W −1 ] y dada otra categoría D , un funtor F : C → D factores únicamente sobre C [ W −1 ] si y solo si F envía todas las flechas en W a isomorfismos.
Por tanto, la localización de la categoría es única hasta el isomorfismo único de categorías, siempre que exista. Una construcción de la localización se realiza por declarando que sus objetos son los mismos que los de C , pero los morfismos se han mejorado mediante la adición de un inverso formal para cada morfismo en W . Bajo hipótesis adecuadas sobre W , los morfismos entre dos objetos X , Y están dados por techos
(donde X' es un objeto arbitrario de C y f está en la clase dada W de morfismos), módulo ciertas relaciones de equivalencia. Estas relaciones convierten el mapa que va en la dirección "incorrecta" en una inversa de f . Este procedimiento, sin embargo, en los rendimientos generales una clase adecuada de morfismos entre X y Y . Normalmente, los morfismos de una categoría solo pueden formar un conjunto. Algunos autores simplemente ignoran estos problemas de la teoría de conjuntos.
Categorías de modelos
Una construcción rigurosa de la localización de categorías, evitando estos problemas de teoría de conjuntos, fue una de las razones iniciales para el desarrollo de la teoría de categorías modelo : una categoría modelo M es una categoría en la que hay tres clases de mapas; una de estas clases es la clase de equivalencias débiles . La categoría de homotopía Ho ( M ) es entonces la localización con respecto a las equivalencias débiles. Los axiomas de una categoría de modelo aseguran que esta localización se pueda definir sin dificultades teóricas de conjuntos.
Definición alternativa
Algunos autores también definen una localización de una categoría C como un functor idempotente y coaumentado. Un funtor coaugmented es un par (L, l) donde L: C → C es una endofunctor y l: Id → L es una transformación natural del funtor identidad a L (llamado el coaugmentation). Un funtor coaumentado es idempotente si, para cada X , ambos mapas L (l X ), l L (X) : L (X) → LL (X) son isomorfismos. Se puede comprobar que en este caso ambos mapas son iguales. [1]
Esta definición está relacionada con la dada anteriormente de la siguiente manera: aplicando la primera definición, hay, en muchas situaciones, no solo un funtor canónico , sino también un functor en la dirección opuesta,
Por ejemplo, módulos sobre la localización de un anillo también son módulos sobre R , dando un funtor
En este caso, la composición
es una localización de C en el sentido de un functor idempotente y coaumentado.
Ejemplos de
De Serre C -teoría
Serre introdujo la idea de trabajar en teoría de homotopía módulo alguna clase C de grupos abelianos . Esto significaba que los grupos A y B se trataron como isomorfo, si por ejemplo A / B estaba en C . Más tarde, Dennis Sullivan tuvo la audaz idea en lugar de utilizar la localización de un espacio topológico , que tuvo efecto en los espacios topológicos subyacentes .
Teoría del módulo
En la teoría de módulos sobre un anillo conmutativo R , cuando R tiene una dimensión de Krull ≥ 2, puede ser útil tratar los módulos M y N como pseudoisomórficos si M / N tiene soporte de codimensión al menos dos. Esta idea se usa mucho en la teoría de Iwasawa .
Categorías derivadas
La categoría derivada de una categoría abeliana se usa mucho en álgebra homológica . Es la localización de la categoría de complejos de cadena (hasta homotopía) con respecto a los cuasi-isomorfismos .
Variedades abelianas hasta isogenia
Una isogenia de una variedad abeliana A a otra B es un morfismo sobreyectivo con núcleo finito . Algunos teoremas sobre variedades abelianas requieren la idea de variedad abeliana hasta la isogenia para su enunciado conveniente. Por ejemplo, dada una subvariedad abeliana A 1 de A , hay otra subvariedad A 2 de A tal que
- A 1 × A 2
es isógeno a A (teorema de reducibilidad de Poincaré: ver, por ejemplo, Abelian Varieties de David Mumford ). Para llamar a esto una descomposición de suma directa , deberíamos trabajar en la categoría de variedades abelianas hasta la isogenia.
Conceptos relacionados
La localización de un espacio topológico produce otro espacio topológico cuya homología es una localización de la homología del espacio original.
Un concepto mucho más general del álgebra homotópica , que incluye como casos especiales tanto la localización de espacios como de categorías, es la localización de Bousfield de una categoría modelo . La localización de Bousfield obliga a ciertos mapas a convertirse en equivalencias débiles , lo que en general es más débil que obligarlos a convertirse en isomorfismos. [2]
Ver también
- Localización simplificada
Referencias
- ^ Idempotentes en categorías monoidales
- ^ Philip S. Hirschhorn: Categorías de modelos y sus localizaciones , 2003, ISBN 0-8218-3279-4 ., Definición 3.3.1
Gabriel, Pierre ; Zisman, Michel (1967). Cálculo de fracciones y teoría de homotopía . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 35. Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-03777-6. Señor 0210125 .