Pursuing Stacks (en francés : À la Poursuite des Champs ) es un influyente manuscrito matemático de 1983 de Alexander Grothendieck . [1] La palabra " pila " se refiere a una posible generalización del esquema , un objeto central de estudio en geometría algebraica .
Entre los conceptos introducidos en el manuscrito se encuentran los derivados y las categorías de prueba .
Algunas partes del manuscrito se desarrollaron posteriormente en:
- Georges Maltsiniotis (2005), "La théorie de l'homotopie de Grothendieck" [Teoría de homotopía de Grothendieck] (PDF) , Astérisque , 301 , MR 2200690
- Denis-Charles Cisinski (2006), "Les préfaisceaux comme modèles des types d'homotopie" [Presheaves como modelos para tipos de homotopía] (PDF) , Astérisque , 308 , ISBN 978-2-85629-225-9, MR 2294028
Descripción general del manuscrito
I. La carta a Daniel Quillen
La búsqueda de pilas comenzó como una carta de Grothendieck a Daniel Quillen. En esta carta analiza el progreso de Quillen [2] sobre los fundamentos de la teoría de la homotopía y destaca la falta de progreso desde entonces. Él comenta cómo algunos de sus amigos en la universidad de Bangor, incluido Ronnie Brown, estaban estudiando grupos fundamentales superiores . para un espacio topológico y cómo se podrían sentar y relativizar las bases para tal tema utilizando la teoría topos dando paso a gerbes superiores . Además, criticó el uso de grupos estrictos para sentar estos fundamentos, ya que no serían suficientes para desarrollar la teoría completa que imaginó.
Expuso sus ideas de cómo debería ser un grupoide infinito y dio algunos axiomas esbozando cómo los imaginaba. Esencialmente, son categorías con objetos, flechas, flechas entre flechas, etc., análogas a la situación de las homotopías superiores. Se conjetura que esto podría lograrse observando una secuencia sucesiva de categorías y functores.
que son universales con respecto a cualquier tipo de grupoide superior. Esto permite una definición inductiva de un grupoide infinito que depende de los objetos y los functores de inclusión donde las categorias realizar un seguimiento de la información homotópica superior hasta el nivel . Posteriormente, dicha estructura se denominó Coherator, ya que realiza un seguimiento de todas las coherencias superiores. Esta estructura ha sido estudiada formalmente por George Malsiniotis [3] haciendo algunos avances en el establecimiento de estos fundamentos y mostrando la hipótesis de la homotopía .
II.Categorías de prueba y funciones de prueba
La motivación de Grothendieck por acumulaciones más altas
De hecho, la descripción es formalmente análoga, y casi idéntica, a la descripción de los grupos de homología de un complejo de cadena y, por lo tanto, parecería que las pilas (más específicamente, las pilas Gr) son en cierto sentido las más cercanas posible generalización no conmutativa de complejos de cadena, los grupos de homología del complejo de cadena se convierten en los grupos de homotopía del "complejo de cadena no conmutativa" o pila - Grothendieck [1] pág. 23
Esto se explica más adelante debido a la intuición proporcionada por la correspondencia Dold-Kan : los grupos abelianos simpliciales corresponden a complejos de cadena, mientras que una pila superior modelada como grupo simplicial debería corresponder a un complejo de cadena "no abeliano". Además, estos deberían tener una abelianización dada por homología y cohomología, escrita sugestivamente como o , ya que debería haber un formalismo de seis functores asociado [1] pág . 24 . Además, debería haber una teoría asociada de las operaciones de Lefschetz, similar a la tesis de Raynaud . [4] Debido a que Grothendieck imaginó una formulación alternativa de pilas superiores usando agrupaciones globulares, y observó que debería haber una teoría correspondiente usando conjuntos cúbicos , se le ocurrió la idea de categorías de prueba y functores de prueba [1] pág . 42 . Esencialmente, las categorías de prueba deben ser categorías con una clase de equivalencias débiles tal que hay una realización geométrica
y una equivalencia débil
Ver también
Referencias
- ^ a b c d Grothendieck. "Perseguir pilas" . thescrivener.github.io . Archivado (PDF) desde el original el 30 de julio de 2020 . Consultado el 17 de septiembre de 2020 .
- ^ Quillen, Daniel G. (1967). "Álgebra homotópica" . Apuntes de clase en matemáticas . doi : 10.1007 / bfb0097438 . ISSN 0075-8434 .
- ^ Maltsiniotis, Georges. "Grothendieck infinity groupoids y otra definición más de categorías infinitas" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 3 de septiembre de 2020.
- ^ Raynaud, Michèle (1974). "Théorèmes de Lefschetz en cohomologie des faisceaux cohérents et en cohomologie étale. Aplicación au groupe fondamental" . Annales scientifiques de l'École Normale Supérieure . 7 (1): 29–52. doi : 10.24033 / asens.1260 .
- Cat como categoría de modelo cerrado
- ¿Existe una explicación de alto concepto de por qué “simplicial” conduce a “homotopía-teórica”?
- ¿Qué tiene de especial la categoría Simplex?
- R. Brown , Los orígenes de 'Perseguir pilas' por Alexander Grothendieck
enlaces externos
- http://ncatlab.org/nlab/show/Pursuing+Stacks
- Conjeturas en "Perseguir pilas" de Grothendieck