La geometría algebraica derivada es una rama de las matemáticas que generaliza la geometría algebraica a una situación en la que los anillos conmutativos , que proporcionan gráficos locales, se reemplazan por álgebras diferenciales graduadas (más de), anillos conmutativos simpliciales oespectros de anillo de topología algebraica , cuyos grupos de homotopía superiores explican la no discreción (por ejemplo, Tor) de la estructura de la gavilla. La teoría del esquema de Grothendieck permite que la gavilla de estructura lleve elementos nilpotentes . La geometría algebraica derivada se puede considerar como una extensión de esta idea, y proporciona escenarios naturales para la teoría de la intersección (o teoría de la homotopía motívica [1] ) de variedades algebraicas singulares y complejos cotangentes en la teoría de la deformación (cf. J. Francis), entre los otras aplicaciones.
Introducción
Los objetos básicos de estudio en el campo son esquemas derivados y pilas derivadas . La motivación más citada es la fórmula de intersección de Serre . [2] En la formulación habitual, la fórmula implica el functor Tor y, por tanto, a menos que desaparezca un Tor superior, la intersección de la teoría del esquema (es decir, el producto de la fibra de las inmersiones) no produce el número de intersección correcto . En el contexto derivado, se toma el producto tensorial derivado , cuya mayor homotopía es mayor Tor, cuya Especificación no es un esquema sino un esquema derivado . Por tanto, el producto de fibra "derivado" produce el número de intersección correcto. (Actualmente esto es hipotético; la teoría de la intersección derivada aún no se ha desarrollado).
El término "derivado" se usa de la misma manera que el functor derivado o la categoría derivada , en el sentido de que la categoría de anillos conmutativos está siendo reemplazada por una categoría ∞ de "anillos derivados". En la geometría algebraica clásica, la categoría derivada de haces cuasi coherentes se considera una categoría triangulada , pero tiene una mejora natural a una categoría ∞ estable , que puede considerarse como el análogo categórico ∞ de una categoría abeliana .
Definiciones
La geometría algebraica derivada es fundamentalmente el estudio de objetos geométricos utilizando álgebra homológica y homotopía. Dado que los objetos en este campo deben codificar la información homológica y de homotopía, existen varias nociones de lo que encapsulan los espacios derivados. Los objetos básicos de estudio en geometría algebraica derivada son esquemas derivados y, más generalmente, pilas derivadas. Heurísticamente, los esquemas derivados deben ser functores de alguna categoría de anillos derivados a la categoría de conjuntos
que se puede generalizar aún más para tener objetivos de grupos superiores (que se espera que sean modelados por tipos de homotopía). Estas pilas derivadas son functores adecuados de la forma
Muchos autores modelan tales functores como functores con valores en conjuntos simpliciales, ya que modelan tipos de homotopía y están bien estudiados. Las diferentes definiciones de estos espacios derivados dependen de la elección de los anillos derivados y del aspecto que deberían tener los tipos de homotopía. Algunos ejemplos de anillos derivados incluyen álgebras graduadas diferenciales conmutativas, anillos simpliciales y-anillos.
Geometría derivada sobre característica 0
Sobre la característica 0, muchas de las geometrías derivadas concuerdan ya que los anillos derivados son los mismos. Las álgebras son solo álgebras graduadas diferenciales conmutativas sobre el cero característico. Entonces podemos definir esquemas derivados de manera similar a esquemas en geometría algebraica. Similar a la geometría algebraica, también podríamos ver estos objetos como un par que es un espacio topológico con un haz de álgebras graduadas diferenciales conmutativas. A veces, los autores toman la convención de que se califican negativamente, por lo que por . La condición de la gavilla también podría debilitarse de modo que para una cubierta de , las gavillas pegaría en superposiciones sólo por cuasi-isomorfismo.
Desafortunadamente, por encima de la característica p, las álgebras graduadas diferenciales funcionan mal para la teoría de la homotopía, debido al hecho de [1] . Esto puede superarse mediante el uso de álgebras simpliciales.
Geometría derivada sobre característica arbitraria
Los anillos derivados sobre características arbitrarias se toman como anillos conmutativos simples debido a las agradables propiedades categóricas que tienen. En particular, la categoría de anillos simpliciales se enriquece de manera simple, lo que significa que los hom-sets son en sí mismos conjuntos simpliciales. Además, existe una estructura de modelo canónico sobre anillos conmutativos simpliciales que provienen de conjuntos simpliciales. [3] De hecho, es un teorema de Quillen que la estructura del modelo en conjuntos simpliciales se puede transferir a anillos conmutativos simpliciales.
Pilas más altas
Se conjetura que existe una teoría final de pilas superiores que modelan tipos de homotopía . Grothendieck conjeturó que estos serían modelados por grupoides globulares, o una forma débil de su definición. Simpson [4] da una definición útil en el espíritu de las ideas de Grothendieck. Recuerde que una pila algebraica (aquí una pila de 1) se llama representable si el producto de fibra de dos esquemas cualesquiera es isomórfico a un esquema. [5] Si tomamos el ansatz de que una pila 0 es solo un espacio algebraico y una pila 1 es solo una pila, podemos definir recursivamente una pila n como un objeto tal que el producto de fibra a lo largo de dos esquemas sea un (n-1) -apila. Si volvemos a la definición de pila algebraica, esta nueva definición concuerda.
Esquemas espectrales
Otra teoría de la geometría algebraica derivada está encapsulada por la teoría de los esquemas espectrales. Su definición requiere una buena cantidad de tecnología para poder establecer con precisión. [6] Pero, en resumen, esquemas espectrales son dados por un anillo espectralmente -topos junto con un fajo de -anillos sobre él sujeto a algunas condiciones de localidad similares a la definición de esquemas afines. En particular
- debe ser equivalente al -topos de algún espacio topológico
- Debe existir una tapa de tal que el topos inducido es equivalente a un topos anillado espectralmente para algunos -anillo
Además, el esquema espectral se llama no conectivo si por .
Ejemplos de
Recuerda que el topos de un punto es equivalente a la categoría de conjuntos. Entonces, en el-topos setting, en su lugar consideramos olas de -groupoids (que son -categorías con un solo objeto), denotado , dando un análogo del punto topos en el -Ajuste topos. Entonces, la estructura de un espacio anillado espectralmente se puede dar adjuntando un-anillo . Tenga en cuenta que esto implica que los espacios anillados espectralmente se generalizan-anillos desde cada -ring se puede asociar con un sitio anillado espectralmente.
Este topos anillado espectralmente puede ser un esquema espectral si el espectro de este anillo da un equivalente -topos, por lo que su espacio subyacente es un punto. Por ejemplo, esto puede estar dado por el espectro del anillo., llamado espectro Eilenberg-Maclane, construido a partir de los espacios Eilenberg-Maclane .
Aplicaciones
- Kerz, Strunk y Tamme (2018) utilizaron geometría algebraica derivada para probar la conjetura de Weibel sobre la desaparición de la teoría K negativa .
- La formulación de la conjetura de Langlands geométrica de Arinkin y Gaitsgory utiliza geometría algebraica derivada. [7]
Ver también
- Esquema derivado
- Persiguiendo pilas
- Geometría algebraica no conmutativa
- Anillo conmutativo simple
- Derivador
- Álgebra sobre un operad
- En-ring
- Teoría de Topos superior
- ∞-topos
- espectro étale
Notas
- ↑ Khan, Adeel A. (2019). "Valiente nueva teoría de la homotopía motívica I". Geom. Topol . 23 : 3647–3685. arXiv : 1610.06871 . doi : 10.2140 / gt.2019.23.3647 .
- ^ ¿ Fórmula de intersección de Serre y geometría algebraica derivada?
- ^ Mateo, Akhil. "Anillos conmutativos simples, I" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 16 de junio de 2019.
- ^ Simpson, Carlos (17 de septiembre de 1996). "Pilas de $ n $ algebraicas (geométricas)". arXiv : alg-geom / 9609014 .
- ^ Lo cual se puede verificar observando el morfismo diagonal y verificando si eso en sí mismo es representable. Consulte https://math.dartmouth.edu/~jvoight/notes/moduli-red-harvard.pdf para obtener más información.
- ^ Rezk, Charles. "Geometría algebraica espectral" (PDF) . pag. 23 (sección 10.6). Archivado (PDF) desde el original el 25 de abril de 2020.
- ^ Arinkin, Dima; Gaitsgory, Dennis (2015). "Soporte singular de haces coherentes y la conjetura geométrica de Langlands". Selecta Math . 21 (1): 1–199. doi : 10.1007 / s00029-014-0167-5 .
Referencias
DAG simple
- Toën, Bertrand (6 de enero de 2014). "Geometría algebraica derivada". arXiv : 1401.1044 [ math.AG ].
- Toën, Bertrand ; Vezzosi, Gabriele (2004). "De HAG a DAG: pilas de módulos derivados". En Greenlees, JPC (ed.). Teoría de la homotopía axiomática, enriquecida y motivacional. Actas del Instituto de Estudios Avanzados de la OTAN, Cambridge, Reino Unido, 9 al 20 de septiembre de 2002 . Serie de Ciencias de la OTAN II: Matemáticas, Física y Química. 131 . Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. págs. 173–216. ISBN 1-4020-1833-9. Zbl 1076.14002 .
- Vezzosi, Gabriele (2011). "¿Qué es ... una pila derivada?" (PDF) . Avisos Am. Matemáticas. Soc . 58 (7): 955–958. Zbl 1228.14004 .
E n y E ∞ -anillos
- Geometría algebraica espectral - Rezk
- Ópera y cohomología de la gavilla - JP May --Anillos sobre la característica 0 y -estructura para cohomología de gavillas
- Tangente cohomología de Hochschild complejo y de E n -rings https://arxiv.org/abs/1104.0181
- Francis, John; Geometría algebraica derivada mi norte {\ Displaystyle {\ mathcal {E}} _ {n}} -Anillos
Aplicaciones
- Lowrey, Parker; Schürg, Timo. (2018). Grothendieck-Riemann-Roch para esquemas derivados
- Ciocan-Fontanine, I., Kapranov, M. (2007). Clases fundamentales virtuales a través de dg-manifolds
- Mann, E., Robalo M. (2018). Teoría de Gromov-Witten con geometría algebraica derivada
- Ben-Zvi, D. , Francis, J. y D. Nadler. Transformaciones integrales y centros Drinfeld en geometría algebraica derivada .
- Kerz, Moritz; Strunk, Florian; Tamme, Georg (2018), "Teoría K algebraica y descenso para explosiones", Invent. Matemáticas. , 211 (2): 523–577, arXiv : 1611.08466 , Bibcode : 2018InMat.211..523K , doi : 10.1007 / s00222-017-0752-2 , MR 3748313
Teorías cuánticas de campos
- Notas sobre las teorías de campo supersimétricas y holomórficas en las dimensiones 2 y 4
enlaces externos
- Página de inicio de Jacob Lurie
- Descripción general de la geometría algebraica espectral
- Grupo de lectura del DAG (otoño de 2011) en Harvard
- http://ncatlab.org/nlab/show/derived+algebraic+geometry
- Taller de aprendizaje RTG de geometría algebraica derivada de Michigan , 2012
- Geometría algebraica derivada: ¿cómo alcanzar el nivel de investigación en matemáticas?
- Geometría algebraica derivada y anillos de chow / motivos de chow
- Gabriele Vezzosi, Una descripción general de la geometría algebraica derivada , octubre de 2013