En matemáticas , una distribución degenerada es una distribución de probabilidad en un espacio ( discreto o continuo ) con soporte solo en un espacio de menor dimensión . Si la distribución degenerada es univariada (que involucra solo una única variable aleatoria ), es una distribución determinista y toma solo un valor. Los ejemplos incluyen una moneda de dos cabezas y lanzar un dado cuyos lados muestran el mismo número. Esta distribución satisface la definición de "variable aleatoria" aunque no parezca aleatoria.en el sentido cotidiano de la palabra; de ahí que se considere degenerado .
Función de distribución acumulativa CDF para k 0 = 0. El eje horizontal es x . | |||
Parámetros | |||
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CDF | |||
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Mediana | |||
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Oblicuidad | indefinido | ||
Ex. curtosis | indefinido | ||
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MGF | |||
CF |
En el caso de una variable aleatoria de valor real, la distribución degenerada es una distribución de un punto , localizada en un punto k 0 de la línea real . La función de masa de probabilidad es igual a 1 en este punto y 0 en cualquier otro lugar.
La distribución univariada degenerada puede verse como el caso límite de una distribución continua cuya varianza va a 0, lo que hace que la función de densidad de probabilidad sea una función delta en k 0 , con una altura infinita allí pero un área igual a 1.
La función de distribución acumulada de la distribución degenerada univariada es:
Variable aleatoria constante
En la teoría de la probabilidad , una variable aleatoria constante es una variable aleatoria discreta que toma un valor constante , independientemente de cualquier evento que ocurra. Esto es técnicamente diferente de una variable aleatoria constante casi con seguridad , que puede tomar otros valores, pero solo en eventos con probabilidad cero. Las variables aleatorias constantes y casi con seguridad constantes, que tienen una distribución degenerada, proporcionan una forma de tratar los valores constantes en un marco probabilístico.
Sea X : Ω → R una variable aleatoria definida en un espacio de probabilidad (Ω, P ). Entonces X es una variable aleatoria constante casi con seguridad si existe tal que
y es además una variable aleatoria constante si
Tenga en cuenta que una variable aleatoria constante es casi con seguridad constante, pero no necesariamente al revés , ya que si X es casi seguramente constante, entonces puede existir γ ∈ Ω tal que X (γ) ≠ k 0 (pero entonces necesariamente Pr ({γ}) = 0, de hecho Pr (X ≠ k 0 ) = 0).
Para propósitos prácticos, la distinción entre X constante o casi con seguridad constante no es importante, ya que la función de distribución acumulativa F ( x ) de X no depende de si X es constante o "simplemente" casi seguramente constante. En cualquier caso,
La función F ( x ) es una función escalonada ; en particular, es una traducción de la función escalón Heaviside .
Mayores dimensiones
La degeneración de una distribución multivariante en n variables aleatorias surge cuando el soporte se encuentra en un espacio de dimensión menor que n . Esto ocurre cuando al menos una de las variables es una función determinista de las demás. Por ejemplo, en el caso de 2 variables, suponga que Y = aX + b para las variables aleatorias escalares X e Y y las constantes escalares a ≠ 0 y b ; aquí, conocer el valor de uno de X o Y da un conocimiento exacto del valor del otro. Todos los puntos posibles ( x , y ) caen en la línea unidimensional y = ax + b .
En general, cuando una o más de n variables aleatorias están exactamente determinadas linealmente por las otras, si la matriz de covarianza existe, su determinante es 0, por lo que es semidefinida positiva pero no definida positiva, y la distribución de probabilidad conjunta es degenerada.
La degeneración también puede ocurrir incluso con covarianza distinta de cero. Por ejemplo, cuando el escalar X está distribuido simétricamente alrededor de 0 e Y está dado exactamente por Y = X 2 , todos los puntos posibles ( x , y ) caen en la parábola y = x 2 , que es un subconjunto unidimensional de los dos. espacio dimensional.