En matemáticas , un campo diferencial K está cerrado diferencialmente si cada sistema finito de ecuaciones diferenciales con una solución en algún campo diferencial se extiende K ya tiene una solución en K . Este concepto fue introducido por Robinson (1959) . Los campos diferencialmente cerrados son los análogos de las ecuaciones diferenciales de los campos algebraicamente cerrados para las ecuaciones polinómicas.
La teoría de los campos diferencialmente cerrados
Recordemos que un campo diferencial es un campo equipado con un operador de derivación . Sea K un campo diferencial con el operador de derivación ∂.
- Un diferencial polinomio en x es un polinomio en las expresiones formales x , ∂ x , ∂ 2 x , ... con coeficientes en K .
- El orden de un polinomio diferencial distinto de cero en x es el mayor n tal que ∂ n x aparece en él, o −1 si el polinomio diferencial es una constante.
- El separador S f de un polinomio diferencial de orden n ≥0 es la derivada de f con respecto a ∂ n x .
- El campo de constantes de K es el subcampo de elementos a con ∂ a = 0.
- En un campo diferencial K de característica p distinta de cero , todas las potencias p son constantes. De ello se deduce que ni K ni su campo de constantes son perfectos , a menos que ∂ sea trivial. Un campo K con derivación ∂ se llama diferencialmente perfeccionar si es cualquiera de característica 0, o de característica p y cada constante es una p ésima potencia de un elemento de K .
- Un campo diferencialmente cerrado es un campo diferencial diferencialmente perfecto K tal que si f y g son polinomios diferenciales tales que S f ≠ 0 y g ≠ 0 yf tiene un orden mayor que el de g , entonces hay algo de x en K con f ( x ) = 0 y g ( x ) ≠ 0. (Algunos autores agregan la condición de que K tiene la característica 0, en cuyo caso S f es automáticamente distinto de cero y K es automáticamente perfecto).
- DCF p es la teoría de campos diferencialmente cerrados de característica p (donde p es 0 o un primo).
Tomando g = 1 yf cualquier polinomio separable ordinario muestra que cualquier campo cerrado diferencialmente está cerrado separadamente . En la característica 0 esto implica que está algebraicamente cerrado, pero en la característica p > 0 los campos diferencialmente cerrados nunca están algebraicamente cerrados.
A diferencia de los números complejos en la teoría de campos algebraicamente cerrados, no existe un ejemplo natural de un campo diferencialmente cerrado. Cualquier campo K diferencialmente perfecto tiene un cierre diferencial , una extensión del modelo principal , que está cerrado diferencialmente. Sela mostró que el cierre diferencial depende única de isomorfismo sobre K . Shelah también mostró que el primer campo diferencialmente cerrado de la característica 0 (el cierre diferencial de los racionales) no es mínimo ; este fue un resultado bastante sorprendente, ya que no es lo que uno esperaría por analogía con los campos algebraicamente cerrados.
La teoría de DCF p es completa y el modelo completo (para p = 0 esto fue demostrado por Robinson, y para p > 0 por Wood (1973) ). La teoría DCF p es el modelo acompañante de la teoría de campos diferenciales de característica p . Es la finalización del modelo de la teoría de campos diferencialmente perfectos de característica p si se agrega al lenguaje un símbolo que da la raíz p -ésima de constantes cuando p > 0. La teoría de campos diferenciales de característica p > 0 no tiene una terminación de modelo, y en la característica p = 0 es la misma que la teoría de campos diferencialmente perfectos, por lo que tiene DCF 0 como su compleción de modelo.
El número de campos diferencialmente cerrados de alguna cardinalidad infinita κ es 2 κ ; para κ incontable esto fue probado por Shelah (1973) , y para κ contable por Hrushovski y Sokolovic.
La topología de Kolchin
La topología de Kolchin en K m se define tomando conjuntos de soluciones de sistemas de ecuaciones diferenciales sobre K en m variables como conjuntos cerrados básicos. Al igual que la topología de Zariski , la topología de Kolchin es noetheriana .
Un conjunto d-construible es una unión finita de conjuntos cerrados y abiertos en la topología de Kolchin. De manera equivalente, un conjunto d-construible es el conjunto de soluciones a un, o libre de cuantificador atómica , fórmula con parámetros en K .
Eliminación del cuantificador
Al igual que la teoría de campos algebraicamente cerrados, la teoría DCF 0 de campos diferencialmente cerrados de característica 0 elimina los cuantificadores . El contenido geométrico de esta afirmación es que la proyección de un conjunto d-construible es d-construible. También elimina imaginarios, es completo y modelo completo.
En la característica p > 0, la teoría DCF p elimina cuantificadores en el lenguaje de campos diferenciales con una función unaria r agregada que es la raíz p -ésima de todas las constantes, y es 0 en elementos que no son constantes.
Diferencial Nullstellensatz
El diferencial Nullstellensatz es el análogo en álgebra diferencial del nullstellensatz de Hilbert .
- Un ideal diferencial o ideal ∂ es un ideal cerrado bajo ∂.
- Un ideal se llama radical si contiene todas las raíces de sus elementos.
Suponga que K es un campo diferencialmente cerrado de característica 0.. Entonces el diferencial nullstellensatz de Seidenberg establece que hay una biyección entre
- Ideales diferenciales radicales en el anillo de polinomios diferenciales en n variables, y
- ∂-subconjuntos cerrados de K n .
Esta correspondencia mapea un subconjunto cerrado closed al ideal de elementos que desaparecen en él, y mapea un ideal a su conjunto de ceros.
Estabilidad omega
En característica 0 Blum mostró que la teoría de campos diferencialmente cerrados es ω-estable y tiene rango de Morley ω. En característica distinta de cero, Wood (1973) mostró que la teoría de campos diferencialmente cerrados no es estable en, y Shelah (1973) mostró con más precisión que es estable pero no superestable .
La estructura de conjuntos definibles: tricotomía de Zilber
Problemas de decidibilidad
El núcleo de Manin
Aplicaciones
Ver también
Referencias
- Marker, David (2000), "Teoría de modelos de campos diferenciales" (PDF) , Teoría de modelos, álgebra y geometría , Matemáticas. Sci. Res. Inst. Publ., 39 , Cambridge: Universidad de Cambridge. Press, págs. 53–63, MR 1773702
- Robinson, Abraham (1959), "Sobre el concepto de campo diferencialmente cerrado", Bull. Res. Secta del Consejo de Israel. F , 8F : 113–128, MR 0125016
- Sacks, Gerald E. (1972), "El cierre diferencial de un campo diferencial" , Bull. Amer. Matemáticas. Soc. , 78 (5): 629–634, doi : 10.1090 / S0002-9904-1972-12969-0 , MR 0299466
- Shelah, Saharon (1973), "Campos cerrados diferencialmente", Israel Journal of Mathematics , 16 (3): 314–328, doi : 10.1007 / BF02756711 , MR 0344116
- Wood, Carol (1973), "The Model Theory of Differential Fields of Characteristic p ≠ 0", Proceedings of the American Mathematical Society , 40 (2): 577–584, doi : 10.2307 / 2039417 , JSTOR 2039417
- Wood, Carol (1976), "La teoría del modelo de campos diferenciales revisitada", Israel Journal of Mathematics , 25 (3–4): 331–352, doi : 10.1007 / BF02757008
- Wood, Carol (1998), "Campos diferencialmente cerrados", Teoría de modelos y geometría algebraica , Lecture Notes in Math., 1696 , Berlín: Springer, págs. 129-141, doi : 10.1007 / BFb0094671 , ISBN 978-3-540-64863-5, MR 1678539