En matemáticas , las pruebas de Dini y Dini-Lipschitz son pruebas muy precisas que se pueden utilizar para demostrar que la serie de Fourier de una función converge en un punto dado. Estas pruebas llevan el nombre de Ulisse Dini y Rudolf Lipschitz . [1]
Definición
Sea f una función en [0,2 π ], sea t algún punto y sea δ un número positivo. Definimos el módulo de continuidad local en el punto t por
Observe que aquí consideramos que f es una función periódica, por ejemplo, si t = 0 y ε es negativo, entonces definimos f ( ε ) = f (2π + ε ) .
El módulo global de continuidad (o simplemente el módulo de continuidad ) se define por
Con estas definiciones podemos enunciar los principales resultados:
- Teorema (prueba de Dini): suponga que una función f satisface en un punto t que
- Entonces la serie de Fourier de f converge en t a f ( t ) .
Por ejemplo, el teorema se cumple con ω f = log −2 (1/δ) pero no se mantiene con log −1 ( 1/δ) .
- Teorema (prueba de Dini-Lipschitz): suponga que una función f satisface
- Entonces, la serie de Fourier de f converge uniformemente af .
En particular, cualquier función de una clase de Hölder [ aclaración necesaria ] satisface la prueba de Dini-Lipschitz.
Precisión
Ambas pruebas son las mejores de su tipo. Para la prueba de Dini-Lipschitz, es posible construir una función f con su módulo de continuidad satisfaciendo la prueba con O en lugar de o , es decir
y la serie de Fourier de f diverge. Para la prueba de Dini, la declaración de precisión es un poco más larga: dice que para cualquier función Ω tal que
existe una función f tal que
y la serie de Fourier de f diverge en 0.
Ver también
Referencias
- ^ Gustafson, Karl E. (1999), Introducción a las ecuaciones diferenciales parciales y los métodos espaciales de Hilbert , Publicaciones de Courier Dover, p. 121, ISBN 978-0-486-61271-3