En matemáticas , el método directo en el cálculo de variaciones es un método general para construir una prueba de la existencia de un minimizador para un determinado funcional , [1] introducido por Stanisław Zaremba y David Hilbert alrededor de 1900. El método se basa en métodos de funcional análisis y topología . Además de utilizarse para probar la existencia de una solución, se pueden utilizar métodos directos para calcular la solución con la precisión deseada. [2]
El método
El cálculo de variaciones se ocupa de los funcionales. , dónde es un espacio funcional y. El principal interés de la asignatura es encontrar minimizadores para tales funcionales, es decir, funciones tal que:
La herramienta estándar para obtener las condiciones necesarias para que una función sea minimizadora es la ecuación de Euler-Lagrange . Pero buscar un minimizador entre las funciones que satisfagan estas puede llevar a conclusiones falsas si no se establece de antemano la existencia de un minimizador.
El funcional debe estar acotado desde abajo para tener un minimizador. Esto significa
Esta condición no es suficiente para saber que existe un minimizador, pero muestra la existencia de una secuencia minimizadora , es decir, una secuencia. en tal que
El método directo puede dividirse en los siguientes pasos
- Toma una secuencia de minimización por .
- Muestra esa admite alguna subsecuencia , que converge en un con respecto a una topología en .
- Muestra esa es secuencialmente más bajo semicontinuo con respecto a la topología.
Para ver que esto muestra la existencia de un minimizador, considere la siguiente caracterización de funciones semicontinuas secuencialmente inferiores.
- La función es secuencialmente inferior-semicontinuo si
- para cualquier secuencia convergente en .
Las conclusiones se desprenden de
- ,
en otras palabras
- .
Detalles
Espacios banach
El método directo a menudo se puede aplicar con éxito cuando el espacio es un subconjunto de un espacio de Banach reflexivo separable . En este caso, el teorema secuencial de Banach-Alaoglu implica que cualquier secuencia acotada en tiene una subsecuencia que converge a algunos en con respecto a la topología débil . Si se cierra secuencialmente en , así que eso es en , el método directo se puede aplicar a un funcional mostrando
- está limitado desde abajo,
- cualquier secuencia de minimización para está acotado, y
- es semicontinuo débilmente secuencialmente más bajo, es decir, para cualquier secuencia débilmente convergente sostiene eso .
La segunda parte generalmente se logra mostrando que Admite alguna condición de crecimiento. Un ejemplo es
- para algunos , y .
Un funcional con esta propiedad a veces se denomina coercitivo. Mostrar semicontinuidad inferior secuencial suele ser la parte más difícil al aplicar el método directo. Vea a continuación algunos teoremas para una clase general de funcionales.
Espacios de Sobolev
El funcional típico en el cálculo de variaciones es una integral de la forma
dónde es un subconjunto de y es una función de valor real en . El argumento de es una función diferenciable , y su jacobiano se identifica con un -vector.
Al derivar la ecuación de Euler-Lagrange, el enfoque común es asumir tiene un límite y deje que el dominio de definición para ser . Este espacio es un espacio de Banach cuando está dotado de la norma suprema , pero no es reflexivo. Al aplicar el método directo, el funcional generalmente se define en un espacio de Sobolev con , que es un espacio reflexivo de Banach. Los derivados de en la fórmula para luego deben tomarse como derivadas débiles . La siguiente sección presenta dos teoremas con respecto a la semicontinuidad inferior secuencial débil de los funcionales del tipo anterior.
Semicontinuidad secuencial inferior de integrales
Como muchos funcionales en el cálculo de variaciones tienen la forma
- ,
dónde es abierto, teoremas que caracterizan funciones para cual es débilmente secuencialmente inferior semicontinuo en con es de gran importancia.
En general, uno tiene lo siguiente: [3]
- Asumir que es una función que tiene las siguientes propiedades:
- La función es continuo para casi todos .
- La función es medible para cada.
- Allí existe con conjugado de Hölder y tal que la siguiente desigualdad es válida para casi todos los y cada : . Aquí,denota el producto interno de Frobenius de y en ).
- Si la función es convexo para casi todos y cada ,
- luego es secuencialmente débilmente más bajo semicontinuo.
Cuándo o el siguiente teorema de tipo inverso se cumple [4]
- Asumir que es continuo y satisface
- para cada , y una función fija aumentando en y y localmente integrable en . Si es secuencialmente débilmente más bajo semicontinuo, entonces para cualquier la función es convexo.
En conclusión, cuando o , el funcional , asumiendo un crecimiento y un límite razonables en , es débilmente secuencialmente más bajo semicontinuo si, y solo si la función es convexo.
Si ambos y son mayores que 1, es posible debilitar la necesidad de convexidad a generalizaciones de convexidad, a saber, policonvexidad y cuasiconvexidad. [5]
Notas
Referencias y lecturas adicionales
- Dacorogna, Bernard (1989). Métodos directos en el cálculo de variaciones . Springer-Verlag. ISBN 0-387-50491-5.
- Fonseca, Irene ; Giovanni Leoni (2007). Métodos modernos en el cálculo de variaciones:Espacios . Saltador. ISBN 978-0-387-35784-3.
- Morrey, CB, Jr .: Integrales múltiples en el cálculo de variaciones . Springer, 1966 (reimpreso en 2008), Berlín ISBN 978-3-540-69915-6 .
- Jindřich Nečas: métodos directos en la teoría de ecuaciones elípticas . (Traducción del original francés de 1967 por A.Kufner y G.Tronel), Springer, 2012, ISBN 978-3-642-10455-8 .
- T. Roubíček (2000). "Método directo para problemas parabólicos". Adv. Matemáticas. Sci. Apl . 10 . págs. 57–65. Señor 1769181 .