convolución de Dirichlet

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En matemáticas , la convolución de Dirichlet es una operación binaria definida para funciones aritméticas ; es importante en la teoría de números . Fue desarrollado por Peter Gustav Lejeune Dirichlet .

Si son dos funciones aritméticas desde los enteros positivos hasta los números complejos , la convolución de Dirichlet f ∗ g es una nueva función aritmética definida por:${\displaystyle f,g:\mathbb {N} \to \mathbb {C} }$

donde la suma se extiende sobre todos los divisores positivos d de  n , o de manera equivalente sobre todos los pares distintos ( a , b ) de números enteros positivos cuyo producto es n .

Este producto ocurre naturalmente en el estudio de series de Dirichlet como la función zeta de Riemann . Describe la multiplicación de dos series de Dirichlet en términos de sus coeficientes:

El conjunto de funciones aritméticas forma un anillo conmutativo , elAnillo de Dirichlet , bajosuma puntual, donde f + g se define por( f + g )( n ) = f ( n ) + g ( n ), y convolución de Dirichlet. La identidad multiplicativa es lafunción unitaria εdefinida por ε ( n ) = 1si n = 1y ε ( n ) = 0si n > 1. lasunidades(elementos invertibles) de este anillo son las funciones aritméticas f con f (1) ≠ 0 .

Además, para cada uno que tiene , existe una función aritmética con , llamada${\ estilo de visualización f}$${\ estilo de visualización f (1) \ neq 0}$${\ estilo de visualización f ^ {-1}}$${\displaystyle f*f^{-1}=\varepsilon}$Dirichlet inversa de.${\ estilo de visualización f}$

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