En geometría diferencial , una disciplina dentro de las matemáticas , una distribución es un subconjunto del paquete tangente de una variedad que satisface ciertas propiedades. Las distribuciones se utilizan para construir nociones de integrabilidad , y específicamente de una foliación de una variedad.
Aunque comparten el mismo nombre, las distribuciones presentadas en este artículo no tienen nada que ver con distribuciones en el sentido de análisis.
Definición
Dejar ser un múltiple de dimensión , y deja . Supongamos que para cada, asignamos un dimensional subespacio del espacio tangente de tal manera que para un barrio de allí existe campos vectoriales suaves linealmente independientes tal que para cualquier punto , lapso Dejamos referirse a la colección de todos los para todos y luego llamamos una distribución de dimensión en , oa veces un -plano de distribución en El conjunto de campos vectoriales suaves. se llama una base local de
Distribuciones involutivas
Decimos que una distribución en es involutivo si para cada punto existe una base local de la distribución en un barrio de tal que para todos , (el corchete de Lie de dos campos vectoriales) está en el intervalo de Es decir, si es una combinación lineal de Normalmente esto se escribe como
Las distribuciones involutivas son los espacios tangentes a las foliaciones . Las distribuciones involutivas son importantes porque satisfacen las condiciones del teorema de Frobenius y, por lo tanto, conducen a sistemas integrables .
Una idea relacionada ocurre en la mecánica hamiltoniana : se dice que dos funciones f y g en una variedad simpléctica están en involución mutua si su paréntesis de Poisson desaparece.
Distribuciones generalizadas
Una distribución generalizada , o distribución de Stefan-Sussmann , es similar a una distribución, pero los subespaciosno es necesario que todos sean de la misma dimensión. La definición requiere que elestán determinados localmente por un conjunto de campos vectoriales, pero estos ya no serán linealmente independientes en todas partes. No es difcil ver que la dimensin dees semicontinua menor , por lo que en puntos especiales la dimensión es menor que en puntos cercanos.
Una clase de ejemplos la proporciona una acción no libre de un grupo de Lie sobre una variedad, siendo los campos vectoriales en cuestión los generadores infinitesimales de la acción grupal (una acción libre da lugar a una distribución genuina). Otro surge en los sistemas dinámicos , donde el conjunto de campos vectoriales en la definición es el conjunto de campos vectoriales que conmutan con uno dado. También hay ejemplos y aplicaciones en la teoría de control , donde la distribución generalizada representa restricciones infinitesimales del sistema.
Referencias
- William M. Boothby. Sección IV. 8. Teorema de Frobenius en una introducción a los colectores diferenciables y la geometría de Riemann , Academic Press, San Diego, California, 2003.
- P. Stefan, Conjuntos accesibles, órbitas y foliaciones con singularidades. Proc. London Math. Soc. 29 (1974), 699 - 713.
- HJ Sussmann, Órbitas de familias de campos vectoriales e integrabilidad de distribuciones. Trans. Amer. Matemáticas. Soc. 180 (1973), 171-188.
enlaces externos
- "Distribución involutiva" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
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