Teorema de Donaldson

Encendido cuando se puede diagonalizar una forma de intersección definida de un múltiple liso de 4

En matemáticas , y especialmente en topología diferencial y teoría de gauge , el teorema de Donaldson establece que una forma de intersección definida de una variedad compacta , orientada , simplemente conectada y suave de dimensión 4 es diagonalizable . Si la forma de intersección es positiva (negativa) definida, se puede diagonalizar a la matriz de identidad (matriz de identidad negativa) sobre los números enteros .

Historia

El teorema fue probado por Simon Donaldson . Esta fue una contribución citada por su medalla Fields en 1986.

Idea de prueba

La prueba de Donaldson utiliza el espacio de los módulos. ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{P}}$de soluciones a las ecuaciones de anti-auto-dualidad en un principio${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$-manojo ${\displaystyle P}$ sobre los cuatro colectores ${\displaystyle X}$. Según el teorema del índice de Atiyah-Singer , la dimensión del espacio de los módulos está dada por

${\displaystyle \dim {\mathcal {M}}=8k-3(1-b_{1}(X)+b_{+}(X)),}$

donde ${\displaystyle c_{2}(P)=k}$, ${\displaystyle b_{1}(X)}$es el primer número Betti de${\displaystyle X}$ y ${\displaystyle b_{+}(X)}$ es la dimensión del subespacio positivo-definido de ${\displaystyle H_{2}(X,\mathbb {R} )}$con respecto a la forma de intersección. Cuándo${\displaystyle X}$ está simplemente conectado con una forma de intersección definida, posiblemente después de cambiar de orientación, uno siempre tiene ${\displaystyle b_{1}(X)=0}$ y ${\displaystyle b_{+}(X)=0}$. Tomando así cualquier principal${\displaystyle \operatorname {SU} (2)}$-paquete con ${\displaystyle k=1}$, se obtiene un espacio de módulos ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$ de dimensión cinco.

Cobordismo dado por el espacio de módulos de Yang-Mills en el teorema de Donaldson

Este espacio de módulos es no compacto y genéricamente liso, con singularidades que ocurren solo en los puntos correspondientes a conexiones reducibles, de las cuales hay exactamente ${\displaystyle b_{2}(X)}$muchos. ^{[1] Los} resultados de Clifford Taubes y Karen Uhlenbeck muestran que si bien${\displaystyle {\mathcal {M}}}$no es compacto, su estructura en el infinito se puede describir fácilmente. ^{[2] [3] [4]} Es decir, hay un subconjunto abierto de${\displaystyle {\mathcal {M}}}$, decir ${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\varepsilon }}$, de modo que para elecciones de parámetros suficientemente pequeñas ${\displaystyle \varepsilon }$, hay un difeomorfismo

${\displaystyle {\mathcal {M}}_{\varepsilon }{\xrightarrow {\quad \cong \quad }}X\times (0,\varepsilon )}$.

El trabajo de Taubes y Uhlenbeck esencialmente se refiere a la construcción de secuencias de conexiones de ASD en los cuatro ${\displaystyle X}$ con curvatura que se concentra infinitamente en un solo punto dado ${\displaystyle x\in X}$. Para cada uno de esos puntos, en el límite se obtiene una conexión ASD singular única, que se convierte en una conexión ASD suave bien definida en ese punto utilizando el teorema de singularidad extraíble de Uhlenbeck. ^{[4] [1]}

Donaldson observó que los puntos singulares en el interior de ${\displaystyle {\mathcal {M}}}$correspondientes a conexiones reducibles también podrían describirse: parecían conos sobre el plano proyectivo complejo ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$, con su orientación invertida.

Por lo tanto, es posible compactar el espacio de los módulos de la siguiente manera: Primero, corte cada cono en una singularidad reducible y pegue en una copia de ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$. En segundo lugar, pegue una copia de${\displaystyle X}$sí mismo en el infinito. El espacio resultante es un cobordismo entre${\displaystyle X}$ y una unión desarticulada de ${\displaystyle b_{2}(X)}$ Copias de ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{2}}$con su orientación invertida. La forma de intersección de una multiplicidad de cuatro es un cobordismo invariante hasta el isomorfismo de formas cuadráticas, a partir del cual se concluye la forma de intersección de${\displaystyle X}$ es diagonalizable.

Extensiones

Michael Freedman había demostrado previamente que cualquier forma bilineal simétrica unimodular se realiza como la forma de intersección de algún cuatro-múltiple cerrado y orientado . Combinando este resultado con el teorema de clasificación de Serre y el teorema de Donaldson, se pueden ver varios resultados interesantes:

1) Cualquier forma de intersección no diagonalizable da lugar a una variedad topológica de cuatro dimensiones sin estructura diferenciable (por lo que no se puede suavizar).

2) Dos variedades 4 suaves y simplemente conectadas son homeomórficas , si y solo si, sus formas de intersección tienen el mismo rango , firma y paridad .

Ver también

• Celosía unimodular
• Teoría de Donaldson
• Ecuaciones de Yang-Mills
• Teorema de Rokhlin

Notas

1. Donaldson, SK (1983). Una aplicación de la teoría de gauge a la topología de cuatro dimensiones. Revista de geometría diferencial, 18 (2), 279-315.
2. Taubes, CH (1982). Conexiones Yang-Mills auto-duales en 4 colectores no-auto-duales. Revista de geometría diferencial, 17 (1), 139-170.
3. Uhlenbeck, KK (1982). Conexiones con límites de L p en curvatura. Comunicaciones en física matemática, 83 (1), 31-42.
4. Uhlenbeck, KK (1982). Singularidades removibles en campos de Yang-Mills. Comunicaciones en física matemática, 83 (1), 11-29.

Referencias

• Donaldson, SK (1983), "Una aplicación de la teoría de gauge a la topología de cuatro dimensiones", Journal of Differential Geometry , 18 (2): 279–315, doi : 10.4310 / jdg / 1214437665 , MR  0710056 , Zbl  0507.57010
• Donaldson, SK; Kronheimer, PB (1990), The Geometry of Four-Manifolds , Oxford Mathematical Monographs, ISBN 0-19-850269-9
• Freed, DS; Uhlenbeck, K. (1984), Instantons y Four-Manifolds , Springer
• Freedman, M .; Quinn, F. (1990), Topología de 4 colectores , Princeton University Press
• Scorpan, A. (2005), The Wild World of 4-Manifolds , American Mathematical Society