En geometría diferencial , una conexión de Ehresmann (en honor al matemático francés Charles Ehresmann, que formalizó por primera vez este concepto) es una versión de la noción de conexión , que tiene sentido en cualquier haz de fibras lisas . En particular, no se basa en la posible estructura de haz de vectores del haz de fibras subyacente, pero, no obstante, las conexiones lineales pueden verse como un caso especial. Otro caso especial importante de conexiones Ehresmann son las principales conexiones de paquetes principales , que son necesarios para ser equivariante sobre el principal grupo de Lie acción.
Introducción
A derivada covariante en geometría diferencial es un operador diferencial lineal que toma la derivada direccional de una sección de un paquete del vector en una covariante manera. También permite formular una noción de sección paralela de un paquete en la dirección de un vector: una sección s es paralela a lo largo de un vector X si. Entonces, una derivada covariante proporciona al menos dos cosas: un operador diferencial y una noción de lo que significa ser paralelo en cada dirección. Una conexión de Ehresmann descarta el operador diferencial por completo y define una conexión axiomáticamente en términos de las secciones paralelas en cada dirección ( Ehresmann 1950 ). Específicamente, una conexión de Ehresmann señala un subespacio vectorial de cada espacio tangente al espacio total del haz de fibras, llamado espacio horizontal . Una sección s es entonces horizontal (es decir, paralela) en la dirección X sise encuentra en un espacio horizontal. Aquí estamos considerando s como una funcióndesde la base M al haz de fibras E , de modo quees entonces el empuje hacia adelante de los vectores tangentes. Los espacios horizontales juntos forman un subconjunto vectorial de.
Esto tiene el beneficio inmediato de poder definirse en una clase de estructuras mucho más amplia que los simples paquetes de vectores. En particular, está bien definido en un haz de fibras en general . Además, muchas de las características de la derivada covariante aún permanecen: transporte paralelo, curvatura y holonomía .
El ingrediente que falta en la conexión, además de la linealidad, es la covarianza . Con las derivadas covariantes clásicas, la covarianza es una característica a posteriori de la derivada. En su construcción, uno especifica la ley de transformación de los símbolos de Christoffel , que no es covariante, y como resultado sigue la covarianza general de la derivada . Para una conexión de Ehresmann, es posible imponer un principio de covarianza generalizado desde el principio introduciendo un grupo de Lie que actúa sobre las fibras del haz de fibras. La condición adecuada es exigir que los espacios horizontales sean, en cierto sentido, equivariantes con respecto a la acción grupal.
El toque final para una conexión de Ehresmann es que se puede representar como una forma diferencial , de la misma manera que el caso de una forma de conexión . Si el grupo actúa sobre las fibras y la conexión es equivariante, entonces la forma también será equivariante. Además, la forma de conexión permite una definición de curvatura como forma de curvatura también.
Definicion formal
Dejar Sea un haz de fibras lisas . [1] Deja
ser el haz vertical que consta de los vectores "tangentes a las fibras" de E , es decir, la fibra de V en es . Este subconjunto dese define canónicamente incluso cuando no hay subespacio tangente canónica a la espacio base M . (Por supuesto, esta asimetría proviene de la definición misma de un haz de fibras, que "solo tiene una proyección" mientras que un producto tendría dos.)
Definición a través de subespacios horizontales
Una conexión de Ehresmann en E es un subconjunto suave H de, llamado haz horizontal de la conexión, que es complementario a V , en el sentido de que define una descomposición suma directa( Kolář, Michor y Slovák 1993 ). Más detalladamente, el paquete horizontal tiene las siguientes propiedades.
- Por cada punto , es un subespacio vectorial del espacio tangentea E en e , llamado subespacio horizontal de la conexión en e .
- depende sin problemas de e .
- Para cada , .
- Cualquier vector tangente en T e E (para cualquier e ∈ E ) es la suma de un componente horizontal y vertical, de modo que T e E = H e + V e .
En términos más sofisticados, una asignación de espacios horizontales que satisfacen estas propiedades tales corresponde precisamente a una sección lisa de la jet haz J 1 E → E .
Definición a través de un formulario de conexión
De manera equivalente, sea v la proyección sobre el haz vertical V a lo largo de H (de modo que H = ker v ). Esto está determinado por la descomposición de la suma directa anterior de TE en partes horizontales y verticales y, a veces, se denomina forma de conexión de la conexión de Ehresmann. Por tanto, v es un homomorfismo de haz de vectores de TE a sí mismo con las siguientes propiedades (de proyecciones en general):
- v 2 = v ;
- v es la identidad en V = Imagen (v) .
Por el contrario, si v es un endomorfismo de haz vectorial de TE que satisface estas dos propiedades, entonces H = ker v es el subconjunto horizontal de una conexión de Ehresmann.
Finalmente, nota que v , siendo una aplicación lineal de cada espacio tangente en sí mismo, puede también ser considerado como una TE -valued 1-forma en E . Esta será una perspectiva útil en las próximas secciones.
Transporte paralelo mediante elevadores horizontales
Una conexión de Ehresmann también prescribe una manera de elevar las curvas desde el colector base M al espacio total del haz de fibras E de modo que las tangentes a la curva sean horizontales. [2] Estos elevadores horizontales son un análogo directo del transporte paralelo para otras versiones del formalismo de conexión.
Específicamente, suponga que γ ( t ) es una curva suave en M a través del punto x = γ (0). Sea e ∈ E x un punto de la fibra sobre x . Una elevación de γ a través de e es una curvaen el espacio total E tal que
- , y
Una elevación es horizontal si, además, cada tangente de la curva se encuentra en el subconjunto horizontal de TE :
Se puede demostrar usando el rango-nulidad teorema aplicado a ¸ y v que cada vector X ∈ T x M tiene un ascensor horizontal única de un vector. En particular, el campo tangente a γ genera un campo vector horizontal en el espacio total de la haz de retroceso γ * E . Según el teorema de Picard-Lindelöf , este campo vectorial es integrable . Por lo tanto, para cualquier curva γ y punto e sobre x = γ (0), existe una elevación horizontal única de γ a través de e durante un tiempo pequeño t .
Tenga en cuenta que, para las conexiones generales de Ehresmann, la elevación horizontal depende de la trayectoria. Cuando dos curvas suaves en M , que coinciden en γ 1 (0) = γ 2 (0) = x 0 y también se cruzan en otro punto x 1 ∈ M , se elevan horizontalmente hacia E a través de la misma e ∈ π −1 ( x 0 ), generalmente pasarán por diferentes puntos de π −1 ( x 1 ). Esto tiene consecuencias importantes para la geometría diferencial de los haces de fibras: el espacio de las secciones de H no es una subálgebra de Lie del espacio de los campos vectoriales en E , porque no está (en general) cerrado bajo el corchete de Lie de los campos vectoriales . Esta falla de cierre debajo del soporte de Lie se mide por la curvatura .
Propiedades
Curvatura
Sea v una conexión de Ehresmann. Entonces la curvatura de v viene dada por [3]
donde [-, -] denota el corchete de Frölicher-Nijenhuis de v ∈ Ω 1 ( E , TE ) consigo mismo. Por lo tanto, R ∈ Ω 2 ( E , TE ) es la forma de dos en E con valores en TE definidos por
- ,
o, en otros términos,
- ,
donde X = X H + X V denota la descomposición de suma directa en componentes H y V , respectivamente. A partir de esta última expresión para la curvatura, se ve desaparecer de manera idéntica si, y solo si, el subconjunto horizontal es Frobenius integrable . Así, la curvatura es la condición de integrabilidad para la subfibrado horizontal a las secciones transversales de rendimiento de la fibra haz E → M .
La curvatura de una conexión de Ehresmann también satisface una versión de la identidad Bianchi :
donde nuevamente [-, -] es el corchete de Frölicher-Nijenhuis de v ∈ Ω 1 ( E , TE ) y R ∈ Ω 2 ( E , TE ).
Lo completo
Una conexión Ehresmann permite que las curvas tengan elevaciones horizontales únicas a nivel local . Para una conexión de Ehresmann completa , una curva se puede levantar horizontalmente en todo su dominio.
Holonomia
La planitud de la conexión corresponde localmente a la integrabilidad de Frobenius de los espacios horizontales. En el otro extremo, la curvatura que no desaparece implica la presencia de holonomía de la conexión. [4]
Casos especiales
Paquetes principales y conexiones principales
Supongamos que E es un suave director G -bundle sobre M . Entonces, una conexión de Ehresmann H sobre E se dice que es una conexión principal (Ehresmann) [5] si es invariante con respecto a la acción de G sobre E en el sentido de que
- para cualquier e ∈ E y g ∈ G ; aquí denota el diferencial de la acción derecha de g sobre E en e .
Los subgrupos con un parámetro de G actúan verticalmente en E . El diferencial de esta acción permite identificar el subespaciocon el álgebra de Lie g del grupo G , digamos por mapa. La forma de conexión v de la conexión de Ehresmann puede verse entonces como una forma 1 ω en E con valores en g definidos por ω ( X ) = ι ( v ( X )).
Así reinterpretado, la forma de conexión ω satisface las siguientes dos propiedades:
- Se transforma de forma equivariante bajo la acción G :para todo h ∈ G , donde R h * es el retroceso bajo la acción correcta y Ad es la representación adjunta de G en su álgebra de Lie.
- Se mapea los campos de vectores verticales a sus elementos asociados de la álgebra de Lie: ω ( X ) = ι ( X ) para todos los X ∈ V .
A la inversa, se puede demostrar que tal forma 1 valorada en g en un paquete principal genera una distribución horizontal que satisface las propiedades mencionadas anteriormente.
Dada una trivialización local, se puede reducir ω a los campos vectoriales horizontales (en esta trivialización). Define una forma 1 ω ' en B a través del retroceso . La forma ω ' determina ω completamente, pero depende de la elección de la trivialización. (Esta forma a menudo también se denomina forma de conexión y se denota simplemente por ω ).
Paquetes de vectores y derivadas covariantes
Supongamos que E es un suave paquete del vector sobre M . Entonces una conexión Ehresmann H en E se dice que es una conexión lineal (Ehresmann) si H e depende linealmente de e ∈ E x para cada x ∈ M . Para que esto sea preciso, dejar que S λ denotan multiplicación escalar por λ en E . Entonces H es lineal si y solo sipara cualquier e ∈ E y escalar λ.
Desde E es un haz vector, su haz vertical, V es isomorfo a pi * E . Por lo tanto si s es una sección de E , entonces v (d s ): TM → s * V = s * π * E = E . Es un morfismo de paquete de vectores y, por lo tanto, está dado por una sección ∇ s del paquete de vectores Hom ( TM , E ). El hecho de que la conexión de Ehresmann sea lineal implica que además verifica para cada función en la regla de Leibniz, es decir , y por lo tanto es una derivada covariante de s .
A la inversa, una derivada covariante ∇ en un conjunto de vectores define una conexión lineal de Ehresmann definiendo H e , para e ∈ E con x = π ( e ), como la imagen d s x ( T x M ) donde s es una sección de E con s ( x ) = e y ∇ X s = 0 para todos X ∈ T x M .
Tenga en cuenta que (por razones históricas) el término lineal cuando se aplica a conexiones, a veces se usa (como la palabra afín , consulte Conexión afín ) para referirse a conexiones definidas en el paquete tangente o el paquete de tramas .
Paquetes asociados
Una conexión de Ehresmann en un haz de fibras (dotado de un grupo de estructura) a veces da lugar a una conexión de Ehresmann en un haz asociado . Por ejemplo, un (lineal) de conexión en un paquete del vector E , pensó de dar un paralelismo de E como anteriormente, induce una conexión sobre el haz asociado de tramas P E de E . Por el contrario, una conexión en P E da lugar a una conexión (lineal) en E siempre que la conexión en P E sea equivariante con respecto a la acción del grupo lineal general en las tramas (y, por tanto, una conexión principal ). No siempre es posible que una conexión de Ehresmann induzca, de forma natural, una conexión en un paquete asociado. Por ejemplo, una conexión de Ehresmann no equivariante en un paquete de tramas de un paquete de vectores puede no inducir una conexión en el paquete de vectores.
Supongamos que E es un paquete asociado de P , de modo que E = P × G F . A G -conexión en E es una conexión Ehresmann tal manera que el mapa de transporte paralelo τ: F x → F x ' está dada por una G -Transformación de las fibras (más puntos suficientemente cercano x y x ' en M se unió por una curva) . [6]
Dada una conexión principal en P , se obtiene una conexión G en el haz de fibras asociado E = P × G F a través del retroceso .
Por el contrario, dada una G -conexión en E es posible recuperar la conexión principal sobre el haz principal asociado P . Para recuperar esta conexión principal, se introduce la noción de un marco sobre la fibra típica F . Dado que G es un grupo de Lie de dimensión finita [7] que actúa eficazmente sobre F , debe existir una configuración finita de puntos ( y 1 , ..., y m ) dentro de F tal que la órbita G R = {( gy 1 , ..., gy m ) | g ∈ G } es un espacio homogéneo principal de G . Uno puede pensar en R como dar una generalización de la noción de un bastidor para el G -action en F . Tenga en cuenta que, ya que R es un espacio homogéneo principal para G , el haz de fibras E ( R ) asociado a E con la fibra típica R es (equivalente a) el haz principal asociado a E . Pero también es un subconjunto del paquete de productos multiplicado por m de E consigo mismo. La distribución de espacios horizontales en E induce una distribución de espacios en este paquete de productos. Dado que los mapas de transporte paralelo asociados a la conexión son mapas G , conservan el subespacio E ( R ), por lo que la conexión G desciende a una conexión G principal en E ( R ).
En resumen, existe una correspondencia uno a uno (hasta la equivalencia) entre los descensos de las conexiones principales a los haces de fibras asociados y las conexiones G en los haces de fibras asociados. Por esta razón, en la categoría de haces de fibras con un grupo de estructura G , la conexión principal contiene toda la información relevante para las conexiones G en los haces asociados. Por lo tanto, a menos que exista una razón primordial para considerar conexiones en paquetes asociados (como existe, por ejemplo, en el caso de las conexiones Cartan ), generalmente se trabaja directamente con la conexión principal.
Notas
- ^ Estas consideraciones se aplican igualmente bien a la situación más general en la quees un sobreyectiva sumersión : es decir, E es un colector Fibered sobre M . En una generalización alternativa, debido a ( Lang 1999 ) y ( Eliason 1967 ), se permite que E y M sean variedades de Banach , con E un haz de fibras sobre M como se indicó anteriormente.
- ^ Ver ( Kobayashi & Nomizu 1996 ) error de harv: múltiples objetivos (2 ×): CITEREFKobayashiNomizu1996 ( ayuda ) y ( Kolář, Michor & Slovák 1993 )
- ↑ ( Kolář, Michor y Slovák 1993 )
- ^ La holonomía para las conexiones de Ehresmann en haces de fibras a veces se denomina holonomía de Ehresmann-Reeb u holonomía de la hoja en referencia al primer estudio detallado que utilizó conexiones de Ehresmann para estudiar las foliaciones en ( Reeb 1952 )
- ^ Error de harvnb de Kobayashi y Nomizu 1996 : objetivos múltiples (2 ×): CITEREFKobayashiNomizu1996 ( ayuda ) Volumen 1.
- ↑ Véase también Lumiste (2001), Connections on a manifold .
- ^ Por conveniencia, asumimos que G es de dimensión finita, aunque esta suposición puede descartarse sin problemas con modificaciones menores.
Referencias
- Ehresmann, Charles (1950), Les connexions infinitésimales dans un espace fibré différentiable , Colloque de Topologie, Bruxelles, págs. 29–55
- Eliason, H (1967), "Geometría de variedades de mapas", Journal of Differential Geometry , 1 : 169-194
- Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1996), Fundamentos de la geometría diferencial , vol. 1 (Nueva ed.), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3
|volume=
tiene texto extra ( ayuda ) - Kobayashi, Shoshichi ; Nomizu, Katsumi (1996), Fundamentos de la geometría diferencial , vol. 2 (Nueva ed.), Wiley-Interscience, ISBN 978-0-471-15732-8
|volume=
tiene texto extra ( ayuda ) - Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), Operadores naturales en geometría diferencial (PDF) , Springer-Verlag, archivado desde el original (PDF) en 2017-03-30 , consultado 2007-04-25
- Lang, Serge (1999), Fundamentos de geometría diferencial , Springer-Verlag, ISBN 0-387-98593-X
- Lumiste, Ülo (2001) [1994], "Conexión en un haz de fibras" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Lumiste, Ülo (2001) [1994], "Conexiones en una variedad" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Reeb, Georges (1952), Sur certaines propriétés topologiques des variétés feuilletées , París: Herman
Otras lecturas
- Raoul Bott (1970) "Obstrucción topológica a la integrabilidad", Proc. Symp. Matemática pura. , 16 Amer. Matemáticas. Soc., Providence, RI.