En matemáticas, un paquete vectorial complejo es un paquete vectorial cuyas fibras son espacios vectoriales complejos .
Cualquier paquete de vector complejo puede verse como un paquete de vector real mediante la restricción de escalares . Por el contrario, cualquier paquete de vectores reales E se puede promover a un paquete de vectores complejo, la complexificación
cuyas fibras son E x ⊗ R C .
Cualquier paquete de vectores complejos sobre un espacio paracompacto admite una métrica hermitiana .
El invariante básico de un paquete de vectores complejo es una clase Chern . Un paquete de vectores complejo está orientado canónicamente ; en particular, se puede tomar su clase Euler .
Un paquete de vectores complejos es un paquete de vectores holomórficos si X es una variedad compleja y si las trivializaciones locales son biholomórficas.
Estructura compleja
Un paquete de vectores complejo se puede considerar como un paquete de vectores real con una estructura adicional, la estructura compleja . Por definición, una estructura compleja es un mapa de paquete entre un paquete de vectores real E y él mismo:
tal que J actúa como la raíz cuadrada i de -1 en las fibras: si es el mapa a nivel de fibra, entonces como un mapa lineal. Si E es un paquete de vectores complejo, entonces la estructura compleja J se puede definir estableciendo para ser la multiplicación escalar por . Por el contrario, si E es un paquete de vectores real con una estructura compleja J , entonces E se puede convertir en un paquete de vectores complejo estableciendo: para cualquier número real a , by un vector real v en una fibra E x ,
Ejemplo : una estructura compleja en el haz tangente de una variedad real M generalmente se denomina estructura casi compleja . Un teorema de Newlander y Nirenberg dice que una estructura J casi compleja es "integrable" en el sentido de que es inducida por una estructura de una variedad compleja si y solo si un cierto tensor que involucra a J desaparece.
Paquete conjugado
Si E es un paquete de vectores complejo, entonces el paquete conjugado de E se obtiene haciendo que los números complejos actúen a través de los conjugados complejos de los números. Por lo tanto, el mapa de identidad de los paquetes de vectores reales subyacentes:es conjugado-lineal, y E y su conjugado E son isomorfos como haces de vectores reales.
La k -ésima clase Chern de es dado por
- .
En particular, E y E no son isomorfos en general.
Si E tiene una métrica hermitiana, entonces el haz conjugado E es isomorfo al haz dual a través de la métrica, donde escribimos para el paquete de líneas complejas triviales.
Si E es un conjunto de vectores reales, entonces el conjunto de vectores reales subyacente de la complexificación de E es una suma directa de dos copias de E :
(ya que V ⊗ R C = V ⊕ i V para cualquier espacio vectorial real V ). Si un vector complejo haz E es la complejización de un vector real de haz de E 'entonces E ' se llama una forma real de E (puede ser más de una forma real) y se dice que E se define sobre los números reales. Si E tiene una forma real, entonces E es isomorfo a su conjugado (ya que ambos son la suma de dos copias de una forma real) y, en consecuencia, las clases impares de Chern de E tienen orden 2.
Ver también
Referencias
- Milnor, John Willard ; Stasheff, James D. (1974), clases de características , Annals of Mathematics Studies, 76 , Princeton University Press; Prensa de la Universidad de Tokio, ISBN 978-0-691-08122-9