Poliedro doble

En geometría , cada poliedro está asociado con una segunda figura dual , donde los vértices de uno corresponden a las caras del otro, y las aristas entre pares de vértices de uno corresponden a las aristas entre pares de caras del otro. [1] Estas figuras duales siguen siendo poliedros combinatorios o abstractos , pero no todos son también poliedros geométricos. [2] Comenzando con cualquier poliedro dado, el dual de su dual es el poliedro original.

La dualidad conserva las simetrías de un poliedro. Por lo tanto, para muchas clases de poliedros definidos por sus simetrías, los duales pertenecen a una clase de simetría correspondiente. Por ejemplo, los poliedros regulares - los sólidos platónicos (convexos) y los poliedros (estrella) de Kepler-Poinsot  - forman pares duales, donde el tetraedro regular es auto-dual . El dual de un poliedro isogonal (uno en el que dos vértices son equivalentes bajo las simetrías del poliedro) es un poliedro isoédrico (uno en el que dos caras son equivalentes [...]), y viceversa. El dual de un isotoxal poliedro (uno en el que dos aristas son equivalentes [...]) también es isotoxal.

La dualidad está estrechamente relacionada con la reciprocidad o polaridad , una transformación geométrica que, cuando se aplica a un poliedro convexo, realiza el poliedro dual como otro poliedro convexo.

Hay muchos tipos de dualidad. Los tipos más relevantes para los poliedros elementales son la reciprocidad polar y la dualidad topológica o abstracta.

En el espacio euclidiano , el dual de un poliedro a menudo se define en términos de reciprocidad polar alrededor de una esfera. Aquí, cada vértice (polo) está asociado con un plano de la cara (plano polar o simplemente polar) de modo que el rayo del centro al vértice es perpendicular al plano, y el producto de las distancias del centro a cada uno es igual a el cuadrado del radio. [3]

Cuando la esfera tiene radio y está centrada en el origen (de modo que está definida por la ecuación ), entonces el dual polar de un poliedro convexo se define como

El dual de un cubo es un octaedro . Los vértices de uno corresponden a las caras del otro y las aristas se corresponden entre sí.
El dual de un sólido platónico se puede construir conectando los centros faciales. En general, esto crea solo un dual topológico .
Imágenes de Harmonices Mundi de Kepler (1619)
Compuesto dual canónico de cuboctaedro (claro) y dodecaedro rómbico (oscuro). Los pares de bordes se encuentran en su media esfera común .
El mosaico cuadrado , {4,4}, es auto-dual, como lo muestran estos mosaicos rojos y azules
El mosaico apeirogonal de orden infinito , {∞, ∞} en rojo, y su posición dual en azul