En geometría , la esfera media o interesfera de un poliedro es una esfera que es tangente a cada borde del poliedro. Es decir, toca cualquier borde en exactamente un punto. No todos los poliedros tienen una esfera media, pero para cada poliedro hay un poliedro combinatorio equivalente, el poliedro canónico , que tiene una esfera media.
La esfera media se llama así porque, para los poliedros que tienen una esfera media, una esfera inscrita (que es tangente a cada cara de un poliedro) y una esfera circunscrita (que toca cada vértice), la esfera media está en el medio, entre las otras dos esferas. El radio de la esfera media se llama radio medio.
Ejemplos de
Los poliedros uniformes , incluidos los poliedros regulares , cuasirregulares y semirregulares y sus duales, tienen esferas medias. En los poliedros regulares, la esfera inscrita, la esfera media y la esfera circunscrita existen y son concéntricas . [1]
Círculos tangentes
Si O es la esfera media de un poliedro P , entonces la intersección de O con cualquier cara de P es un círculo. Los círculos formados de esta manera en todas las caras de P forman un sistema de círculos en O que son tangentes exactamente cuando las caras en las que se encuentran comparten un borde.
Doblemente, si v es un vértice de P , entonces hay un cono que tiene su vértice en v y que es tangente a O en un círculo; este círculo forma el límite de un casquete esférico dentro del cual la superficie de la esfera es visible desde el vértice. Es decir, el círculo es el horizonte de la esfera media, visto desde el vértice. Los círculos formados de esta manera son tangentes entre sí exactamente cuando los vértices a los que corresponden están conectados por una arista.
Dualidad
Si un poliedro P tiene una esfera media O , entonces el poliedro polar con respecto a O también tiene O como su esfera media. Los planos de las caras del poliedro polar pasan a través de los círculos en O que son tangentes a los conos que tienen los vértices de P como vértices. [2]
Poliedro canónico
Una forma más sólida del teorema del empaquetamiento de círculos , al representar gráficas planas mediante sistemas de círculos tangentes, establece que cada gráfica poliédrica se puede representar mediante un poliedro con una esfera media. Los círculos del horizonte de un poliedro canónico se pueden transformar, por proyección estereográfica , en un conjunto de círculos en el plano euclidiano que no se cruzan y son tangentes entre sí exactamente cuando los vértices a los que corresponden son adyacentes. [3] En cambio, existen poliedros que no tienen una forma equivalente con una esfera inscrita o esfera circunscrita. [4]
Dos poliedros cualesquiera con el mismo entramado de caras y la misma esfera media pueden transformarse entre sí mediante una transformación proyectiva del espacio tridimensional que deja la esfera media en la misma posición. La restricción de esta transformación proyectiva a la esfera media es una transformación de Möbius . [5] Hay una forma única de realizar esta transformación de modo que la esfera media sea la esfera unitaria y el centroide de los puntos de tangencia esté en el centro de la esfera; esto da una representación del poliedro dado que es único hasta la congruencia , el poliedro canónico . [6] Alternativamente, un poliedro transformado que maximiza la distancia mínima de un vértice desde la esfera media se puede encontrar en tiempo lineal ; el poliedro canónico elegido de esta manera tiene la máxima simetría entre todas las opciones del poliedro canónico. [7]
Ver también
Notas
- ↑ Coxeter (1973) afirma esto para poliedros regulares; Cundy & Rollett 1961 para poliedros de Arquímedes.
- ^ Coxeter (1973) .
- ^ Schramm (1992) ; Sachs (1994) . Schramm afirma que Koebe (1936) afirmó la existencia de un poliedro equivalente con una esfera media, pero que Koebe solo demostró este resultado para poliedros con caras triangulares. Schramm atribuye el resultado completo a William Thurston , pero la parte relevante de las notas de la clase de Thurston [1] nuevamente solo establece el resultado explícitamente para poliedros triangulados.
- ^ Schramm (1992) ; Steinitz (1928) .
- ^ Sachs (1994) .
- ^ Ziegler (1995) .
- ^ Berna y Eppstein (2001) .
Referencias
- Berna, M .; Eppstein, D. (2001), "Transformaciones óptimas de Möbius para visualización y mallado de información", 7th Worksh. Algoritmos y estructuras de datos , Lecture Notes in Computer Science, 2125 , Providence, Rhode Island: Springer-Verlag, págs. 14-25, arXiv : cs.CG/0101006 , doi : 10.1007 / 3-540-44634-6_3 , S2CID 3266233.
- Coxeter, HSM (1973), "2.1 poliedros regulares; 2.2 reciprocidad" , politopos regulares (3ª ed.), Dover, págs. 16-17 , ISBN 0-486-61480-8.
- Cundy, HM; Rollett, AP (1961), Modelos matemáticos (2ª ed.), Oxford University Press, pág. 117.
- Koebe, Paul (1936), "Kontaktprobleme der Konformen Abbildung", Ber. Sächs. Akad. Wiss. Leipzig, Math.-Phys. Kl. , 88 : 141–164.
- Sachs, Horst (1994), "Gráficos de monedas, poliedros y mapeo conforme", Matemáticas discretas , 134 (1-3): 133-138, doi : 10.1016 / 0012-365X (93) E0068-F , MR 1303402.
- Schramm, Oded (1992), "How to jaula an egg" (PDF) , Inventiones Mathematicae , 107 (3): 543–560, Bibcode : 1992InMat.107..543S , doi : 10.1007 / BF01231901 , MR 1150601 , S2CID 189830473.
- Steinitz, E. (1928), "Über isoperimetrische Probleme bei konvexen Polyedern", Journal für die reine und angewandte Mathematik , 159 : 133–143.
- Ziegler, Günter M. (1995), Conferencias sobre politopos , Textos de posgrado en matemáticas, 152 , Springer-Verlag, págs. 117-118, ISBN 0-387-94365-X.
enlaces externos
- Hart, GW (1997), "Calculating canonical polyhedra" , Mathematica in Education and Research , 6 (3): 5–10. Una implementación de Mathematica de un algoritmo para construir poliedros canónicos.
- Weisstein, Eric W. , "Midsphere" , MathWorld