Racional diádico

Fracción con una potencia de dos como denominador

Racionales diádicos en el intervalo de 0 a 1.

En matemáticas, un racional diádico o racional binario es un número que se puede expresar como una fracción cuyo denominador es una potencia de dos . Por ejemplo, 1/2, 3/2 y 3/8 son racionales diádicos, pero 1/3 no lo es. Estos números son importantes en informática porque son los únicos con representaciones binarias finitas . Los racionales diádicos también tienen aplicaciones en pesos y medidas, firmas de compás musicales y educación matemática temprana. Pueden aproximarse con precisión a cualquier número real .

La suma, diferencia o producto de dos números racionales diádicos cualesquiera es otro número racional diádico, dado por una fórmula simple. Sin embargo, la división de un número racional diádico por otro no siempre produce un resultado racional diádico. Matemáticamente, esto significa que los números racionales diádicos forman un anillo , que se encuentra entre el anillo de los números enteros y el campo de los números racionales . Este anillo se puede denotar${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {1}{2}}]}$.

En matemáticas avanzadas, los números racionales diádicas son fundamentales para las construcciones de la electroválvula diádico , la función de signo de interrogación de Minkowski , Daubechies ondas , grupo de Thompson , Prüfer-2 grupos , números surreales , y los números de fusibles . Estos números son orden-isomorfos a los números racionales; forman un subsistema de números 2-ádicos así como de los reales, y pueden representar las partes fraccionarias de números 2-ádicos. Se han utilizado funciones desde números naturales hasta racionales diádicos para formalizar el análisis matemático enmatemáticas inversas .

Aplicaciones

En medida

Muchos sistemas tradicionales de pesos y medidas se basan en la idea de dividir a la mitad repetidamente, lo que produce racionales diádicos al medir cantidades fraccionarias de unidades. La pulgada se subdivide habitualmente en racionales diádicos en lugar de utilizar una subdivisión decimal. ^[1] Las divisiones habituales del galón en medio galón, cuartos de galón , pintas y tazas también son diádicas. ^[2] Los antiguos egipcios usaban racionales diádicos en la medición, con denominadores de hasta 64. ^[3] De manera similar, los sistemas de pesos de la civilización del valle del Indose basan en su mayor parte en reducciones a la mitad repetidas; antropóloga Heather M.-L. Miller escribe que "la reducción a la mitad es una operación relativamente simple con balances de vigas, que es probablemente la razón por la que tantos sistemas de peso de este período de tiempo usaban sistemas binarios". ^[4]

En informática

Los racionales diádicos son fundamentales para la informática como un tipo de número fraccionario que muchas computadoras pueden manipular directamente. En particular, como tipo de datos utilizado por las computadoras, los números de punto flotante a menudo se definen como números enteros multiplicados por potencias positivas o negativas de dos. Los números que se pueden representar con precisión en un formato de punto flotante, como los tipos de datos de punto flotante IEEE , se denominan números representables. Para la mayoría de las representaciones de punto flotante, los números representables son un subconjunto de los racionales diádicos. ^[5] Lo mismo ocurre con los tipos de datos de coma fija , que también utilizan poderes de dos implícitamente en la mayoría de los casos. ^[6]Debido a la simplicidad de la computación con racionales diádicos, también se usan para computación real exacta usando aritmética de intervalos , ^[7] y son fundamentales para algunos modelos teóricos de números computables . ^{[8] [9] [10]}

La generación de una variable aleatoria a partir de bits aleatorios, en un período de tiempo fijo, solo es posible cuando la variable tiene un número finito de resultados cuyas probabilidades son todos números racionales diádicos. Para las variables aleatorias cuyas probabilidades no son diádicas, es necesario aproximar sus probabilidades mediante racionales diádicas o utilizar un proceso de generación aleatoria cuyo tiempo sea en sí mismo aleatorio e ilimitado. ^[11]

En música

Cinco barras de Igor Stravinski 's La consagración de la primavera
mostrando los compases${\displaystyle {\tfrac {3}{16}}}$, ${\displaystyle {\tfrac {2}{16}}}$, ${\displaystyle {\tfrac {3}{16}}}$, y ${\displaystyle {\tfrac {2}{8}}}$

Las firmas de tiempo en la notación musical occidental se escriben tradicionalmente en una forma que se asemeja a las fracciones (por ejemplo:${\displaystyle {\tfrac {2}{2}}}$, ${\displaystyle {\tfrac {4}{4}}}$, o ${\displaystyle {\tfrac {6}{8}}}$), ^[12] aunque la línea horizontal del pentagrama musical que separa el número superior e inferior a menudo se omite cuando se escribe la firma por separado de su pentagrama. Como fracciones, generalmente son diádicas, ^[13] aunque también se han utilizado firmas de tiempo no diádicas . ^[14] El valor numérico de la firma, interpretado como una fracción, describe la longitud de un compás como una fracción de una nota entera . Su numerador describe el número de tiempos por compás y el denominador describe la duración de cada tiempo. ^{[12] [13]}

En educación matemática

En las teorías del desarrollo infantil del concepto de fracción basadas en el trabajo de Jean Piaget , los números fraccionarios que surgen de la reducción a la mitad y la reducción repetida a la mitad se encuentran entre las primeras formas de fracciones en desarrollarse. ^[15] Esta etapa de desarrollo del concepto de fracciones se ha denominado "reducción a la mitad algorítmica". ^[16] La suma y resta de estos números se puede realizar en pasos que solo implican doblar, dividir por la mitad, sumar y restar números enteros. Por el contrario, la suma y resta de fracciones más generales implica la multiplicación y factorización de números enteros para alcanzar un denominador común. Por lo tanto, las fracciones diádicas pueden ser más fáciles de calcular para los estudiantes que las fracciones más generales. ^[17]

Aritmética

La suma , el producto o la diferencia de dos racionales diádicos cualesquiera es en sí mismo otro racional diádico, y puede calcularse mediante las siguientes fórmulas: ^[18]

$${\displaystyle {\frac {a}{2^{b}}}+{\frac {c}{2^{d}}}={\frac {2^{d-\min(b,d)}a+2^{b-\min(b,d)}c}{2^{\max(b,d)}}}}$$

$${\displaystyle {\frac {a}{2^{b}}}-{\frac {c}{2^{d}}}={\frac {2^{d-b}a-c}{2^{d}}}\quad (d\geq b)}$$

$${\displaystyle {\frac {a}{2^{b}}}-{\frac {c}{2^{d}}}={\frac {a-2^{b-d}c}{2^{b}}}\quad (d<b)}$$

$${\displaystyle {\frac {a}{2^{b}}}\times {\frac {c}{2^{d}}}={\frac {a\times c}{2^{b+d}}}.}$$

Sin embargo, el resultado de dividir un racional diádico por otro no es necesariamente un racional diádico. ^[19]

Propiedades adicionales

Todo entero y todo medio entero es un racional diádico. ^[20]

Cada número real puede aproximarse de manera arbitraria y cercana mediante racionales diádicos. En particular, para un número real${\displaystyle x}$, los racionales diádicos de la forma ${\displaystyle \left\lfloor 2^{i}x\right\rfloor /2^{i}}$ aproximado ${\displaystyle x}$ de abajo a dentro de un error de ${\displaystyle 1/2^{i}}$, que puede hacerse arbitrariamente pequeño eligiendo ${\displaystyle i}$ser arbitrariamente grande. Para un subconjunto fractal de los números reales, este límite de error es óptimo: para estos números, no hay valor de${\displaystyle i}$ para el cual el error es menor que una constante veces ${\displaystyle 1/2^{i}}$. ^[21] La existencia de aproximaciones diádicas precisas se puede expresar diciendo que el conjunto de todos los racionales diádicos es un denso en la línea real . ^[20] Más fuertemente, este conjunto es uniformemente denso, en el sentido de que los racionales diádicos con denominador${\displaystyle 2^{i}}$están espaciados uniformemente en la línea real. ^[8]

Los racionales diádicos son precisamente aquellos números que poseen expansiones binarias finitas . ^[8] Sus expansiones binarias no son únicas; hay una representación finita y una infinita de cada racional diádico diferente de 0 (ignorando los ceros terminales). Por ejemplo, 0.1 ₂  = 0.0111 ... ₂  = 1/4 + 1/8 + 1/16 +… = 1/2. Además, 0.11 ₂  = 0.10111 ... ₂  = 3/4. ^{[8] [22]} Los racionales diádicos son los únicos números cuyas expansiones binarias no son únicas. ^[8]

En matemáticas avanzadas

Estructura algebraica

Debido a que están cerrados bajo suma, resta y multiplicación, pero no división, los racionales diádicos son un anillo pero no un campo . ^[23] El anillo de los racionales diádicos puede denotarse${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {1}{2}}]}$, lo que significa que se puede generar evaluando polinomios con coeficientes enteros, en el argumento ${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}}$. ^[24] Como anillo, los racionales diádicos son un subanillo de los números racionales y un subanillo de los enteros. ^[25] Algebraicamente, este anillo es la localización de los números enteros con respecto al conjunto de potencias de dos . ^[26]

Además de formar un subanillo de los números reales , los números racionales diádicos forman un subanillo de los números 2-ádicos , un sistema de números que se puede definir a partir de representaciones binarias que son finitas a la derecha del punto binario pero que pueden extenderse infinitamente. muy a la izquierda. Los números 2-ádicos incluyen todos los números racionales, no solo los racionales diádicos. Incrustar los racionales diádicos en los números 2-ádicos no cambia la aritmética de los racionales diádicos, pero les da una estructura topológica diferente a la que tienen como subanillo de los números reales. Como lo hacen en los reales, los racionales diádicos forman un subconjunto denso de los números 2-ádicos, ^[27]el conjunto de números 2-ádicos con expansiones binarias finitas. Cada número 2-ádico se puede descomponer en la suma de un número entero 2-ádico y un racional diádico; en este sentido, los racionales diádicos pueden representar las partes fraccionarias de números 2-ádicos, pero esta descomposición no es única. ^[28]

Adición de racionales diádicos módulo 1 (el grupo cociente ${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac {1}{2}}]/\mathbb {Z} }$de los racionales diádicos por los números enteros) forma el grupo 2 de Prüfer . ^[29]

Solenoide diádico

Considerar solo las operaciones de suma y resta de los racionales diádicos les da la estructura de un grupo abeliano aditivo . La dualidad de Pontryagin es un método para comprender los grupos abelianos mediante la construcción de grupos duales, cuyos elementos son caracteres del grupo original, homomorfismos de grupo al grupo multiplicativo de los números complejos , con la multiplicación puntual como la operación de grupo dual. El grupo dual de los racionales diádicos aditivos, así construido, también puede verse como un grupo topológico . Se llama solenoide diádico y es isomorfo al producto topológico de los números reales y los números 2-ádicos, coorientadospor la inserción diagonal de los racionales diádicos en este producto. ^[27] Es un ejemplo de un protorus , un solenoide y un continuo indecomponible . ^[30]

Funciones con racionales diádicos como puntos distinguidos

La función de signo de interrogación de Minkowski asigna números racionales a racionales diádicos

A Daubechies Wavelet , mostrando puntos de no-uniformidad en racionales diádicas

Debido a que son un subconjunto denso de los números reales, los racionales diádicos, con su orden numérico, forman un orden denso . Al igual que con dos órdenes lineales densos contables ilimitados, según el teorema del isomorfismo de Cantor , ^[31] los racionales diádicos son orden-isomorfos a los números racionales. En este caso, la función del signo de interrogación de Minkowski proporciona una biyección que preserva el orden entre el conjunto de todos los números racionales y el conjunto de los racionales diádicos. ^[32]

Los racionales diádicos juegan un papel clave en el análisis de las ondas de Daubechies , como el conjunto de puntos donde la función de escala de estas ondas no es uniforme. ^[23] De manera similar, los racionales diádicos parametrizan las discontinuidades en el límite entre puntos estables e inestables en el espacio de parámetros del mapa de Hénon . ^[33]

El conjunto de homeomorfismos lineales por partes desde el intervalo unitario hasta sí mismo que tienen pendientes de potencia de 2 y puntos de corte diádico-racionales forma un grupo bajo la operación de composición de funciones . Este es el grupo de Thompson , el primer ejemplo conocido de un grupo simple infinito pero presentado de manera finita . ^[34] El mismo grupo también puede ser representado por una acción sobre árboles binarios enraizados, ^[35] o por una acción sobre los racionales diádicos dentro del intervalo unitario. ^[29]

Otras construcciones relacionadas

En matemáticas inversas , una forma de construir los números reales es representarlos como funciones de números unarios a racionales diádicos, donde el valor de una de estas funciones para el argumento${\displaystyle i}$ es un racional diádico con denominador ${\displaystyle 2^{i}}$que se aproxima al número real dado. Definir números reales de esta manera permite probar muchos de los resultados básicos del análisis matemático dentro de una teoría restringida de aritmética de segundo orden llamada "análisis factible" (BTFA). ^[36]

Los números surrealistas se generan mediante un principio de construcción iterado que comienza generando todos los racionales diádicos finitos, y luego continúa creando nuevos y extraños tipos de infinitos, infinitesimales y otros números. ^[37] Este sistema numérico es fundamental para la teoría de juegos combinatorios , y los racionales diádicos surgen naturalmente en esta teoría como el conjunto de valores de ciertos juegos combinatorios. ^{[38] [39] [40]}

Los números fusibles son un subconjunto de los racionales diádicos, el cierre del conjunto${\displaystyle \{0\}}$ bajo la operación ${\displaystyle x,y\mapsto (x+y+1)/2}$, restringido a parejas ${\displaystyle x,y}$ con ${\displaystyle |x-y|<1}$. Están bien ordenados , con un tipo de orden igual al número épsilon ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$. Por cada entero${\displaystyle n}$ el número de fusible más pequeño que es mayor que ${\displaystyle n}$ tiene la forma ${\displaystyle n+1/2^{k}}$. La existencia de${\displaystyle k}$ para cada ${\displaystyle n}$no se puede probar en la aritmética de Peano , ^[41] y${\displaystyle k}$ crece tan rápidamente en función de ${\displaystyle n}$ Eso para ${\displaystyle n=3}$es (en la notación de flecha hacia arriba de Knuth para números grandes) ya es mayor que${\displaystyle 2\uparrow ^{9}16}$. ^[42]

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