Racional diádico

En matemáticas, un racional diádico o racional binario es un número que se puede expresar como una fracción cuyo denominador es una potencia de dos . Por ejemplo, 1/2, 3/2 y 3/8 son racionales diádicos, pero 1/3 no lo es. Estos números son importantes en informática porque son los únicos con representaciones binarias finitas . Los racionales diádicos también tienen aplicaciones en pesos y medidas, compases musicales y educación matemática temprana. Pueden aproximar con precisión cualquier número real .

La suma, la diferencia o el producto de dos números racionales diádicos cualesquiera es otro número racional diádico, dado por una fórmula simple. Sin embargo, la división de un número racional diádico por otro no siempre produce un resultado racional diádico. Matemáticamente, esto significa que los números racionales diádicos forman un anillo , que se encuentra entre el anillo de los números enteros y el campo de los números racionales . Este anillo puede ser denotado .${\displaystyle \mathbb {Z} [{\tfrac{1}{2}}]}$

En matemáticas avanzadas, los números racionales diádicos son fundamentales para las construcciones del solenoide diádico , la función de signo de interrogación de Minkowski , las ondículas de Daubechies , el grupo de Thompson, el grupo 2 de Prüfer , los números surrealistas y los números fusibles . Estos números son de orden isomorfo a los números racionales; forman un subsistema de los números 2-ádicos así como de los reales, y pueden representar las partes fraccionarias de los números 2-ádicos. Se han utilizado funciones desde números naturales hasta racionales diádicos para formalizar el análisis matemático enmatemática inversa .

Muchos sistemas tradicionales de pesos y medidas se basan en la idea de reducir a la mitad repetidamente, lo que produce racionales diádicos al medir cantidades fraccionarias de unidades. La pulgada se subdivide habitualmente en racionales diádicos en lugar de utilizar una subdivisión decimal. ^[1] Las divisiones habituales del galón en medios galones, cuartos , pintas y tazas también son diádicas. ^[2] Los antiguos egipcios usaban racionales diádicos en la medición, con denominadores de hasta 64. ^[3] De manera similar, los sistemas de pesos de la Civilización del Valle del Indose basan en su mayor parte en la reducción a la mitad repetida; la antropóloga Heather M.-L. Miller escribe que "reducir a la mitad es una operación relativamente simple con balanzas de barra, que es probablemente la razón por la que tantos sistemas de peso de este período usaban sistemas binarios". ^[4]

Los racionales diádicos son fundamentales para la informática como un tipo de número fraccionario que muchas computadoras pueden manipular directamente. ^[5] En particular, como un tipo de datos utilizado por las computadoras, los números de punto flotante a menudo se definen como números enteros multiplicados por potencias positivas o negativas de dos. Los números que se pueden representar con precisión en un formato de punto flotante, como los tipos de datos de punto flotante IEEE , se denominan números representables. Para la mayoría de las representaciones de coma flotante, los números representables son un subconjunto de los racionales diádicos. ^[6] Lo mismo ocurre con los tipos de datos de punto fijo , que también usan potencias de dos implícitamente en la mayoría de los casos. ^[7]Debido a la simplicidad de la computación con racionales diádicos, también se utilizan para la computación real exacta mediante la aritmética de intervalos , ^[8] y son fundamentales para algunos modelos teóricos de números computables . ^{[9] [10] [11]}

Generar una variable aleatoria a partir de bits aleatorios, en una cantidad de tiempo fija, solo es posible cuando la variable tiene un número finito de resultados cuyas probabilidades son todos números racionales diádicos. Para variables aleatorias cuyas probabilidades no son diádicas, es necesario aproximar sus probabilidades mediante racionales diádicos o utilizar un proceso de generación aleatoria cuyo tiempo es en sí mismo aleatorio e ilimitado. ^[12]

Racionales diádicos en el intervalo de 0 a 1

Cinco compases de La consagración de la primavera de Igor Stravinski que muestran firmas de tiempo
³
₁₆,²
₁₆,³
₁₆, y²
₈

Aproximaciones racionales diádicas a la raíz cuadrada de 2 ( ), que se encuentran redondeando al múltiplo entero menor más cercano de para La altura de la región rosa sobre cada aproximación es su error.${\ estilo de visualización {\ sqrt {2}} \ aproximadamente 1,4142}$${\ estilo de visualización 1/2 ^ {i}}$${\displaystyle i=0,1,2,\puntos}$

Números reales sin aproximaciones racionales diádicas inusualmente precisas. Los círculos rojos rodean los números que se aproximan con un error de . Para números en el conjunto fractal de Cantor fuera de los círculos, todas las aproximaciones racionales diádicas tienen errores más grandes.${\displaystyle {\tfrac{1}{6}}/2^{i}}$${\ estilo de visualización n/2^{i}}$

La función de signo de interrogación de Minkowski asigna números racionales a racionales diádicos

Una wavelet de Daubechies , que muestra puntos de falta de suavidad en racionales diádicos