Forma de curvatura

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En geometría diferencial , la forma de curvatura describe la curvatura de una conexión en un paquete principal . Puede considerarse como una alternativa o generalización del tensor de curvatura en la geometría de Riemann .

Sea G un grupo de Lie con álgebra de Lie y P → B un G -haz principal . Sea ω una conexión de Ehresmann en P (que es una forma de valor único en P ). ${\displaystyle {\mathfrak{g}}}$${\displaystyle {\mathfrak{g}}}$

Entonces la forma de curvatura es la forma 2-valuada en P definida por${\displaystyle {\mathfrak{g}}}$

Aquí significa derivada exterior , se define en el artículo " Forma valorada en álgebra de Lie " y D denota la derivada covariante exterior . En otros términos, ^[1]${\ estilo de visualización d}$${\ estilo de visualización [\ cdot \ cuña \ cdot]}$

donde hZ significa la componente horizontal de Z , a la derecha identificamos un campo vectorial vertical y un elemento de álgebra de Lie que lo genera ( campo vectorial fundamental ), y es el inverso del factor de normalización usado por convención en la fórmula de la derivada exterior .${\ estilo de visualización \ sigma \ en \ {1,2 \}}$

Se dice que una conexión es plana si su curvatura desaparece: Ω = 0. De manera equivalente, una conexión es plana si el grupo de estructuras se puede reducir al mismo grupo subyacente pero con la topología discreta.

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