En matemáticas , se dice que un conjunto de vectores es plano si está dotado de una conexión lineal con curvatura que se desvanece , es decir, una conexión plana .
cohomología de Rham de un paquete de vectores planos
Dejar denotar un paquete de vector plano, y ser la derivada covariante asociada a la conexión plana en E.
Dejar denotar el espacio vectorial (de hecho, un haz de módulos sobre) De formas diferenciales en X con valores en E . La derivada covariante define un endomorfismo de grado 1 d , el diferencial de, y la condición de planitud es equivalente a la propiedad .
En otras palabras, el espacio vectorial graduado es un complejo cochain . Su cohomología se llama el de cohomología Rham de E , o de cohomología con coeficientes Rham retorcidos por el sistema de coeficiente local de E .
Trivializaciones planas
Se dice que una trivialización de un paquete de vectores planos es plana si la forma de conexión desaparece en esta trivialización. Una definición equivalente de un paquete plano es la elección de un atlas trivializante con mapas de transición localmente constantes.
Ejemplos de
- Los paquetes de líneas triviales pueden tener varias estructuras de paquetes planas. Un ejemplo es el paquete trivial sobrecon las formas de conexión 0 y. Los campos vectoriales paralelos son constantes en el primer caso y proporcionales a las determinaciones locales de la raíz cuadrada en el segundo.
- El paquete de línea canónica real de un colector diferencial M es un paquete de línea plana, llamado paquete de orientación . Sus secciones son formas de volumen .
- Una variedad de Riemann es plana si y solo si su conexión Levi-Civita le da a su paquete vectorial tangente una estructura plana.
Ver también
- Formas diferenciales con valores vectoriales
- Sistema local , la noción más general de una gavilla localmente constante.
- Carácter de orientación , una forma característica relacionada con el conjunto de líneas de orientación, útil para formular la dualidad Twisted Poincaré
- Grupo de Picard cuyo componente conectado, la variedad jacobiana , es el espacio de módulos de haces de líneas planas algebraicas.
- Monodromía , o representaciones del grupo fundamental por transporte paralelo sobre haces planos.
- Holonomía , la obstrucción a la planitud.