En el estudio de las matemáticas y especialmente de la geometría diferencial , los campos vectoriales fundamentales son un instrumento que describe el comportamiento infinitesimal de una acción suave de un grupo de Lie sobre una variedad suave . Tales campos vectoriales encuentran aplicaciones importantes en el estudio de la teoría de Lie , la geometría simpléctica y el estudio de las acciones grupales hamiltonianas .
Motivación
Importante para las aplicaciones en matemáticas y física [1] es la noción de flujo en una variedad. En particular, sies un colector suave yes un campo vectorial suave , uno está interesado en encontrar curvas integrales para. Más precisamente, dado a uno le interesan las curvas tal que
para las cuales las soluciones locales están garantizadas por el Teorema de Existencia y Unicidad de las Ecuaciones Diferenciales Ordinarias . Sies además un campo vectorial completo , entonces el flujo de, definida como la colección de todas las curvas integrales para , es un difeomorfismo de. El flujo dada por es de hecho una acción del grupo de Lie aditivo en .
Por el contrario, cada acción suave define un campo vectorial completo a través de la ecuación
Entonces es un simple resultado [2] que hay una correspondencia biyectiva entre acciones en y completar campos vectoriales en .
En el lenguaje de la teoría del flujo, el campo vectorial se llama generador infinitesimal . [3] Intuitivamente, el comportamiento del flujo en cada punto corresponde a la "dirección" indicada por el campo vectorial. Es una pregunta natural preguntarse si se puede establecer una correspondencia similar entre campos vectoriales y acciones de grupo de Lie más arbitrarias en.
Definición
Dejar ser un grupo de Lie con el álgebra de Lie correspondiente . Además, dejaser un colector suave dotado de una acción suave . Denotar el mapa tal que , llamado mapa orbital de correspondiente a . [4] Para, el campo vectorial fundamental correspondiente a es cualquiera de las siguientes definiciones equivalentes: [2] [4] [5]
dónde es el diferencial de un mapa suave yes el vector cero en el espacio vectorial .
El mapa Entonces se puede demostrar que es un homomorfismo del álgebra de Lie . [5]
Aplicaciones
Grupos de mentiras
El álgebra de Lie de un grupo de Lie pueden identificarse con los campos vectoriales invariantes a la izquierda o a la derecha en . Es un resultado bien conocido [3] que tales campos vectoriales son isomorfos a, el espacio tangente a la identidad. De hecho, si dejamos actuar sobre sí mismo mediante la multiplicación por la derecha, los campos vectoriales fundamentales correspondientes son precisamente los campos vectoriales invariantes a la izquierda.
Acciones del grupo hamiltoniano
En la motivación , se demostró que existe una correspondencia biyectiva entre la suavidadacciones y campos vectoriales completos. De manera similar, existe una correspondencia biyectiva entre acciones simplécticas (los difeomorfismos inducidos son todos simplectomorfismos ) y campos vectoriales simplécticos completos .
Una idea estrechamente relacionada es la de los campos vectoriales hamiltonianos . Dada una variedad simpléctica, Nosotros decimos eso es un campo vectorial hamiltoniano si existe una función suave satisfactorio
donde el mapa es el producto interior . Esto motiva la definición de una acción de grupo hamiltoniana de la siguiente manera: Si es un grupo de Lie con álgebra de Lie y es una acción grupal de en un colector liso , entonces decimos que es una acción de grupo hamiltoniano si existe un mapa de momentos tal que para cada ,
dónde y es el campo vectorial fundamental de
Referencias
- ^ Hou, Bo-Yu (1997), Geometría diferencial para físicos , World Scientific Publishing Company , ISBN 978-9810231057
- ^ a b Ana Cannas da Silva (2008). Conferencias sobre geometría simpléctica . Saltador. ISBN 978-3540421955.
- ^ a b Lee, John (2003). Introducción a los colectores lisos . Saltador. ISBN 0-387-95448-1.
- ^ a b Audin, Michèle (2004). Acciones de toro en variedades simplécticas . Birkhäuser. ISBN 3-7643-2176-8.
- ^ a b Libermann, Paulette ; Marle, Charles-Michel (1987). Geometría simpléctica y mecánica analítica . Saltador. ISBN 978-9027724380.