En matemáticas , específicamente en topología algebraica , el teorema de Eilenberg-Zilber es un resultado importante en el establecimiento del vínculo entre los grupos de homología de un espacio de productos. y los de los espacios y . El teorema apareció por primera vez en un artículo de 1953 en el American Journal of Mathematics por Samuel Eilenberg y Joseph A. Zilber. Una posible ruta hacia una demostración es el teorema del modelo acíclico .
Declaración del teorema
El teorema se puede formular como sigue. Suponer y son espacios topológicos , luego tenemos los tres complejos de cadena , , y . (El argumento se aplica igualmente a los complejos de cadena simple o singular.) También tenemos el complejo de producto tensorial , cuyo diferencial es, por definición,
por y , los diferenciales en ,.
Entonces el teorema dice que tenemos mapas en cadena
tal que es la identidad y es homotópico en cadena a la identidad. Además, los mapas son naturales en y . En consecuencia, los dos complejos deben tener la misma homología :
Declaración en términos de mapas compuestos
El teorema original fue probado en términos de modelos acíclicos, pero Eilenberg y Mac Lane obtuvieron más millaje en una redacción usando mapas explícitos. El mapa estándarque producen se conoce tradicionalmente como el mapa de Alexander-Whitney yel mapa de Eilenberg-Zilber . Los mapas son naturales en ambos y e inversa hasta la homotopía: uno tiene
para una homotopia natural en ambos y tal que además, cada uno de , , y es cero. Esto es lo que se conocería como una contracción o un dato de retracción de homotopía .
El coproducto
El mapa diagonal induce un mapa de complejos cochain que, seguido por Alexander-Whitney produce un coproducto inducir el coproducto estándar en . Con respecto a estos coproductos en y , el mapa
- ,
también llamado mapa de Eilenberg – Zilber, se convierte en un mapa de carbongebras graduadas diferenciales . El compuesto en sí mismo no es un mapa de carboneros.
Declaración en cohomología
Los mapas de Alexander-Whitney y Eilenberg-Zilber se dualizan (sobre cualquier elección de anillo de coeficiente comunicativo con unidad) a un par de mapas
que también son equivalencias de homotopía, como lo demuestran los duales de las ecuaciones anteriores, utilizando la homotopía dual . El coproducto no se dualiza directamente, porque la dualización no se distribuye sobre los productos tensoriales de módulos generados infinitamente, pero hay una inyección natural de álgebras graduadas diferenciales. dada por , el producto se toma en el anillo de coeficientes . Esto induce un isomorfismo en cohomología, por lo que uno tiene el zig-zag de los mapas de álgebra graduada diferencial
inducir un producto en cohomología, conocido como producto de taza , porque y son isomorfismos. Reemplazo con por lo que todos los mapas van de la misma manera, uno obtiene el producto de taza estándar en las cadenas, dado explícitamente por
- ,
que, desde la evaluación de cochain desaparece a menos que , se reduce a la expresión más familiar.
Tenga en cuenta que si este mapa directo de complejos de cocadena eran de hecho un mapa de álgebras graduadas diferenciales, entonces el producto de taza haría un álgebra graduada conmutativa , que no lo es. Esta falla del mapa de Alexander-Whitney para ser un mapa de coalgebra es un ejemplo de la falta de disponibilidad de modelos conmutativos a nivel de cocadena para la cohomología sobre campos de característica distinta de cero y, por lo tanto, es en cierto modo responsable de gran parte de la sutileza y complicación de la teoría de homotopía estable. .
Generalizaciones
Una generalización importante del caso no abeliano utilizando complejos cruzados se da en el artículo de Andrew Tonks a continuación. Esto da todos los detalles de un resultado sobre el espacio de clasificación (simple) de un complejo cruzado enunciado pero no probado en el artículo de Ronald Brown y Philip J. Higgins sobre la clasificación de espacios.
Consecuencias
El teorema de Eilenberg-Zilber es un ingrediente clave para establecer el teorema de Künneth , que expresa los grupos de homología en términos de y . A la luz del teorema de Eilenberg-Zilber, el contenido del teorema de Künneth consiste en analizar cómo la homología del complejo producto tensorial se relaciona con las homologías de los factores.
Ver también
Referencias
- Eilenberg, Samuel ; Zilber, Joseph A. (1953), "Sobre productos de complejos", American Journal of Mathematics , 75 (1), págs. 200-204, doi : 10.2307 / 2372629 , JSTOR 2372629 , MR 0052767.
- Hatcher, Allen (2002), Topología algebraica , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-79540-1.
- Tonks, Andrew (2003), "Sobre el teorema de Eilenberg-Zilber para complejos cruzados", Journal of Pure and Applied Algebra , 179 (1-2), págs. 199-230, doi : 10.1016 / S0022-4049 (02) 00160 -3 , MR 1958384.
- Brown, Ronald ; Higgins, Philip J. (1991), "El espacio de clasificación de un complejo cruzado", Procedimientos matemáticos de la Sociedad Filosófica de Cambridge , 110 , págs. 95-120, CiteSeerX 10.1.1.145.9813 , doi : 10.1017 / S0305004100070158.