Estrés-energía-pseudotensor de impulso

En la teoría de la relatividad general , un pseudotensor esfuerzo-energía-momento , como el pseudotensor Landau-Lifshitz , es una extensión del tensor de esfuerzo-energía no gravitacional que incorpora la energía-momento de la gravedad. Permite definir la energía-momento de un sistema de materia gravitante. En particular, permite que el total de materia más la energía gravitante-momento forme una corriente conservada dentro del marco de la relatividad general , de modo que la energía total -momento cruza la hipersuperficie (límite tridimensional) de cualquier hipervolumen compacto de espacio-tiempo (Sub-colector de 4 dimensiones) desaparece.

Algunas personas (como Erwin Schrödinger ^{[ cita requerida ]} ) han objetado esta derivación sobre la base de que los pseudotensores son objetos inapropiados en la relatividad general, pero la ley de conservación solo requiere el uso de la 4- divergencia de un pseudotensor que es, en este caso, un tensor (que también desaparece). Además, la mayoría de los pseudotensores son secciones de haces de chorros , que ahora son reconocidos ^{[¿ por quién? ]} como objetos perfectamente válidos en GR.

Pseudotensor Landau – Lifshitz

El uso de la pseudotensor Landau-Lifshitz , una tensión-energía-impulso pseudotensor para la materia combinado (incluyendo fotones y neutrinos), además de la gravedad, ^[1] permite que las leyes de la conservación de energía-impulso para extenderse en la relatividad general . La resta del tensor de tensión-energía-momento de la materia del pseudotensor combinado da como resultado el pseudotensor de tensión-energía-momento gravitacional.

Requisitos

Landau y Lifshitz fueron guiados por cuatro requisitos en su búsqueda de un pseudotensor de impulso de energía gravitacional : ^[1]${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }\,}$

1. que se construya enteramente a partir del tensor métrico , de modo que sea de origen puramente geométrico o gravitacional.
2. que sea de índice simétrico, es decir , (para conservar el momento angular )${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }=t_{LL}^{\nu \mu }\,}$
3. que, cuando se suma al tensor de tensión-energía de la materia, su 4- divergencia total se desvanece (esto es necesario para cualquier corriente conservada ) de modo que tengamos una expresión conservada para la tensión total-energía-momento.${\displaystyle T^{\mu \nu }\,}$
4. que se desvanezca localmente en un marco de referencia inercial (lo que requiere que solo contenga la primera derivada y no la segunda o superior de la métrica). Esto se debe a que el principio de equivalencia requiere que el campo de fuerza gravitacional, los símbolos de Christoffel , desaparezcan localmente en algunos marcos. Si la energía gravitacional es una función de su campo de fuerza, como es habitual para otras fuerzas, entonces el pseudotensor gravitacional asociado también debería desaparecer localmente.

Definición

Landau & Lifshitz demostró que existe una construcción única que satisface estos requisitos, a saber

${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }=-{\frac {c^{4}}{8\pi G}}G^{\mu \nu }+{\frac {c^{4}}{16\pi G(-g)}}\left((-g)\left(g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }-g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }\right)\right)_{,\alpha \beta }}$

donde:

• G ^μν es el tensor de Einstein (que se construye a partir de la métrica)
• g ^μν es el inverso del tensor métrico
• g = det ( g _μν ) es el determinante del tensor métrico. g <0 , de ahí su apariencia como.${\displaystyle -g}$
• ${\textstyle {}_{,\alpha \beta }={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{\alpha }\partial x^{\beta }}}\,}$son derivadas parciales , no derivadas covariantes .
• G es la constante gravitacional de Newton .

Verificación

Al examinar las 4 condiciones de requisitos, podemos ver que las primeras 3 son relativamente fáciles de demostrar:

1. Dado que el tensor de Einstein,, se construye a partir de la métrica, por lo tanto, es${\displaystyle G^{\mu \nu }\,}$${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }}$
2. Dado que el tensor de Einstein,, es simétrico, también lo es, ya que los términos adicionales son simétricos por inspección.${\displaystyle G^{\mu \nu }\,}$${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }}$
3. El pseudotensor Landau-Lifshitz se construye de manera que cuando se añade al tensor de tensión-energía de la materia, , su total de 4- divergencia desvanece: . Esto se sigue de la cancelación del tensor de Einstein , con el tensor de tensión-energía , por las ecuaciones de campo de Einstein ; el término restante desaparece algebraicamente debido a la conmutatividad de derivadas parciales aplicadas a través de índices antisimétricos.${\displaystyle T^{\mu \nu }\,}$${\displaystyle \left(\left(-g\right)\left(T^{\mu \nu }+t_{LL}^{\mu \nu }\right)\right)_{,\mu }=0}$${\displaystyle G^{\mu \nu }\,}$${\displaystyle T^{\mu \nu }\,}$
4. El pseudotensor Landau-Lifshitz parece incluir términos segunda derivada de la métrica, pero de hecho los segundos términos explícitos derivados de la pseudotensor cancelar con los segundos términos derivados implícitos contenidos en el tensor de Einstein , . Esto es más evidente cuando el pseudotensor se expresa directamente en términos del tensor métrico o la conexión Levi-Civita ; sólo los términos de la primera derivada en la métrica sobreviven y estos desaparecen donde el marco es localmente inercial en cualquier punto elegido. Como resultado, todo el pseudotensor desaparece localmente (nuevamente, en cualquier punto elegido) , lo que demuestra la deslocalización de la energía gravitacional-momento. ^[1]${\displaystyle G^{\mu \nu }\,}$${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }=0}$

Constante cosmológica

Cuando se formuló el pseudotensor Landau-Lifshitz se suponía comúnmente que la constante cosmológica , , fue cero. Hoy en día no hacemos esa suposición , y la expresión necesita la adición de un término, dando:${\displaystyle \Lambda \,}$${\displaystyle \Lambda \,}$

${\displaystyle t_{LL}^{\mu \nu }=-{\frac {c^{4}}{8\pi G}}\left(G^{\mu \nu }+\Lambda g^{\mu \nu }\right)+{\frac {c^{4}}{16\pi G(-g)}}\left(\left(-g\right)\left(g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }-g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }\right)\right)_{,\alpha \beta }}$

Esto es necesario para mantener la coherencia con las ecuaciones de campo de Einstein .

Versiones de conexión métrica y afín

Landau y Lifshitz también proporcionan dos expresiones equivalentes pero más largas para el pseudotensor Landau-Lifshitz:

• Versión del tensor métrico : ^[2]

  ${\displaystyle {\begin{aligned}(-g)\left(t_{LL}^{\mu \nu }+{\frac {c^{4}\Lambda g^{\mu \nu }}{8\pi G}}\right)={\frac {c^{4}}{16\pi G}}{\bigg [}&\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \nu }\right)_{,\alpha }\left({\sqrt {-g}}g^{\alpha \beta }\right)_{,\beta }-\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \alpha }\right)_{,\alpha }\left({\sqrt {-g}}g^{\nu \beta }\right)_{,\beta }+{}\\&{\frac {1}{8}}\left(2g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }\right)\left(2g_{\sigma \rho }g_{\lambda \omega }-g_{\rho \lambda }g_{\sigma \omega }\right)\left({\sqrt {-g}}g^{\sigma \omega }\right)_{,\alpha }\left({\sqrt {-g}}g^{\rho \lambda }\right)_{,\beta }-{}\\&\left(g^{\mu \alpha }g_{\beta \sigma }\left({\sqrt {-g}}g^{\nu \sigma }\right)_{,\rho }\left({\sqrt {-g}}g^{\beta \rho }\right)_{,\alpha }+g^{\nu \alpha }g_{\beta \sigma }\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \sigma }\right)_{,\rho }\left({\sqrt {-g}}g^{\beta \rho }\right)_{,\alpha }\right)+{}\\&\left.{\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }g_{\alpha \beta }\left({\sqrt {-g}}g^{\alpha \sigma }\right)_{,\rho }\left({\sqrt {-g}}g^{\rho \beta }\right)_{,\sigma }+g_{\alpha \beta }g^{\sigma \rho }\left({\sqrt {-g}}g^{\mu \alpha }\right)_{,\sigma }\left({\sqrt {-g}}g^{\nu \beta }\right)_{,\rho }\right]\end{aligned}}}$

• Versión de conexión afín : ^[3]

  ${\displaystyle {\begin{aligned}t_{LL}^{\mu \nu }+{\frac {c^{4}\Lambda g^{\mu \nu }}{8\pi G}}={\frac {c^{4}}{16\pi G}}{\Big [}&\left(2\Gamma _{\alpha \beta }^{\sigma }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \rho }^{\sigma }\Gamma _{\beta \sigma }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \sigma }^{\sigma }\Gamma _{\beta \rho }^{\rho }\right)\left(g^{\mu \alpha }g^{\nu \beta }-g^{\mu \nu }g^{\alpha \beta }\right)+{}\\&\left(\Gamma _{\alpha \rho }^{\nu }\Gamma _{\beta \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\beta \sigma }^{\nu }\Gamma _{\alpha \rho }^{\rho }-\Gamma _{\sigma \rho }^{\nu }\Gamma _{\alpha \beta }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \beta }^{\nu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }\right)g^{\mu \alpha }g^{\beta \sigma }+\\&\left(\Gamma _{\alpha \rho }^{\mu }\Gamma _{\beta \sigma }^{\rho }+\Gamma _{\beta \sigma }^{\mu }\Gamma _{\alpha \rho }^{\rho }-\Gamma _{\sigma \rho }^{\mu }\Gamma _{\alpha \beta }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }\right)g^{\nu \alpha }g^{\beta \sigma }+\\&\left.\left(\Gamma _{\alpha \sigma }^{\mu }\Gamma _{\beta \rho }^{\nu }-\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }\Gamma _{\sigma \rho }^{\nu }\right)g^{\alpha \beta }g^{\sigma \rho }\right]\end{aligned}}}$

Esta definición de energía-momento es covariablemente aplicable no solo en las transformaciones de Lorentz, sino también en las transformaciones de coordenadas generales.

Pseudotensor de Einstein

Este pseudotensor fue desarrollado originalmente por Albert Einstein . ^{[4] [5]}

Paul Dirac demostró ^[6] que el pseudotensor mixto de Einstein

${\displaystyle {t_{\mu }}^{\nu }={\frac {c^{4}}{16\pi G{\sqrt {-g}}}}\left(\left(g^{\alpha \beta }{\sqrt {-g}}\right)_{,\mu }\left(\Gamma _{\alpha \beta }^{\nu }-\delta _{\beta }^{\nu }\Gamma _{\alpha \sigma }^{\sigma }\right)-\delta _{\mu }^{\nu }g^{\alpha \beta }\left(\Gamma _{\alpha \beta }^{\sigma }\Gamma _{\sigma \rho }^{\rho }-\Gamma _{\alpha \sigma }^{\rho }\Gamma _{\beta \rho }^{\sigma }\right){\sqrt {-g}}\right)}$

cumple una ley de conservación

${\displaystyle \left(\left({T_{\mu }}^{\nu }+{t_{\mu }}^{\nu }\right){\sqrt {-g}}\right)_{,\nu }=0.}$

Claramente, este pseudotensor para la tensión-energía gravitacional se construye exclusivamente a partir del tensor métrico y sus primeras derivadas. En consecuencia, desaparece en cualquier evento cuando se elige el sistema de coordenadas para hacer desaparecer las primeras derivadas de la métrica porque cada término en el pseudotensor es cuadrático en las primeras derivadas de la métrica. Sin embargo, no es simétrico y, por lo tanto, no es adecuado como base para definir el momento angular.

Ver también

• Tensor de Bel-Robinson
• Hipótesis de localización de energía de Cooperstock
• Onda gravitacional

Notas

1. Lev Davidovich Landau y Evgeny Mikhailovich Lifshitz , The Classical Theory of Fields , (1951), Pergamon Press, ISBN  7-5062-4256-7 capítulo 11, sección # 96
2. Ecuación de Landau-Lifshitz 96,9
3. Ecuación de Landau-Lifshitz 96,8
4. Albert Einstein Das hamiltonisches Prinzip und allgemeine Relativitätstheorie (El principio hamiltoniano y la relatividad general). Sitzungsber. preuss. Acad. Wiss. 1916, 2, 1111-1116.
5. Albert Einstein Der Energiesatz in der allgemeinen Relativitätstheorie. (Una ley de conservación de energía en relatividad general). Sitzungsber. preuss. Acad. Wiss. 1918, 1, 448–459
6. PAMDirac, Teoría general de la relatividad (1975), Princeton University Press, presentación rápida de lo esencial de GTR. ISBN 0-691-01146-X páginas 61—63 

Referencias

• Perturbaciones no lineales y leyes de conservación sobre fondos curvos en GR y otras teorías métricas por AN Petrov
• lantonov.blogspot.com/2012/02/landau-lifshitz-pseudotensor.html