En la teoría de categorías , el concepto de un elemento , o un punto , generaliza el concepto más habitual de la teoría de conjuntos de un elemento de un conjunto a un objeto de cualquier categoría . Esta idea a menudo permite replantear definiciones o propiedades de morfismos (como monomorfismo o producto ) dadas por una propiedad universal en términos más familiares, al establecer su relación con los elementos. Algunos teoremas muy generales, como el lema de Yoneda y el teorema de inclusión de Mitchell, son de gran utilidad para esto, ya que permiten trabajar en un contexto donde estas traducciones son válidas. Este enfoque de la teoría de categorías, en particular el uso del lema de Yoneda de esta manera, se debe a Grothendieck , y a menudo se lo denomina método del funtor de puntos .
Definición
Supongamos que C es cualquier categoría y A , T son dos objetos de C . A T punto de -valued A es simplemente una flecha. El conjunto de todos los puntos de A con valor T varía de forma funcional con T , dando lugar al "functor de puntos" de A ; de acuerdo con el lema de Yoneda , esto determina completamente A como un objeto de C .
Propiedades de los morfismos
Muchas propiedades de los morfismos pueden reformularse en términos de puntos. Por ejemplo, un mapase dice que es un monomorfismo si
- Para todos los mapas , , implica .
Suponer y en C . Entonces g y h son A puntos -valued de B , y por lo tanto monomorphism es equivalente a la declaración más familiar
- f es un monomorphism si es una función inyectiva en puntos de B .
Es necesario un poco de cuidado. f es un epimorfismo si la condición dual se cumple:
- Para todos los mapas g , h (de algún tipo adecuado), implica .
En la teoría de conjuntos, el término "epimorfismo" es sinónimo de "sobreyección", es decir
- Cada punto de C es la imagen, bajo f , de un cierto punto de B .
Claramente, esta no es la traducción de la primera declaración al lenguaje de los puntos y, de hecho, estas declaraciones no son equivalentes en general. Sin embargo, en algunos contextos, como las categorías abelianas , el "monomorfismo" y el "epimorfismo" están respaldados por condiciones suficientemente fuertes que de hecho permiten tal reinterpretación en los puntos.
Del mismo modo, las construcciones categóricas como el producto tienen análogos apuntados. Recuerde que si A , B son dos objetos de C , su producto A × B es un objeto tal que
- Existen mapas , y para cualquier T y mapas , existe un mapa único tal que y .
En esta definición, f y g están T -valued puntos de A y B , respectivamente, mientras que h es una T punto de -valued A × B . Por tanto, una definición alternativa del producto es:
- A × B es un objeto de C , junto con mapas de proyección. y , De manera que p y q pasta de una biyección entre los puntos de A × B y pares de puntos de A y B .
Ésta es la definición más familiar del producto de dos conjuntos.
Origen geométrico
La terminología es de origen geométrico; En geometría algebraica , Grothendieck introdujo la noción de esquema para unificar la asignatura con la geometría aritmética , que trataba de la misma idea de estudiar soluciones a ecuaciones polinomiales (es decir, variedades algebraicas ) pero donde las soluciones no son números complejos sino números racionales , enteros , o incluso elementos de algún campo finito . Entonces, un esquema es solo eso: un esquema para reunir todas las manifestaciones de una variedad definida por las mismas ecuaciones pero con soluciones tomadas en diferentes conjuntos de números. Un esquema da una variedad compleja, cuyos puntos son su-puntos valorados, así como el conjunto de puntos valorados (soluciones racionales de las ecuaciones), e incluso -puntos valorados (soluciones módulo p ).
Una característica del lenguaje de puntos es evidente en este ejemplo: en general, no es suficiente considerar solo puntos con valores en un solo objeto. Por ejemplo, la ecuación(que define un esquema) no tiene soluciones reales , pero tiene soluciones complejas , a saber. También tiene una solución módulo 2 y dos módulos 5, 13, 29, etc. (todos primos que son 1 módulo 4). Simplemente tomar las soluciones reales no proporcionaría información alguna.
Relación con la teoría de conjuntos
La situación es análoga al caso en el que C es la categoría Conjunto , de conjuntos de elementos reales. En este caso, tenemos el conjunto "en un solo punto" {1}, y los elementos de cualquier conjunto S son los mismos que los {1} puntos -valued de S . Además, sin embargo, hay los {1,2} puntos -valued, que son pares de elementos de S , o elementos de S × S . En el contexto de conjuntos, estos puntos superiores son extraños: S está determinado completamente por sus puntos {1}. Sin embargo, como se muestra arriba, esto es especial (en este caso, se debe a que todos los conjuntos son coproductos iterados de {1}).
Referencias
- Barr, Michael; Wells, Charles (1985). Topos, Triples y Teorías (PDF) . Saltador.
- Awodey, Steve (2006). Teoría de categorías . Prensa de la Universidad de Oxford. Sección 2.3. ISBN 0-19-856861-4.