Las coordenadas elipsoidales son un sistema de coordenadas ortogonales tridimensionales que generaliza el sistema de coordenadas elípticas bidimensionales . A diferencia de la mayoría de los sistemas de coordenadas ortogonales tridimensionales que presentan superficies de coordenadas cuadráticas , el sistema de coordenadas elipsoidales se basa en cuadrículas confocales .
Fórmulas básicas
Las coordenadas cartesianas se puede producir a partir de las coordenadas elipsoidales por las ecuaciones
donde los siguientes límites se aplican a las coordenadas
En consecuencia, superficies de constante son elipsoides
mientras que superficies de constante son hiperboloides de una hoja
porque el ltimo trmino en lhs es negativo, y superficies de constante son hiperboloides de dos hojas
porque los dos últimos términos de las lhs son negativos.
El sistema ortogonal de cuadrículas que se utiliza para las coordenadas elipsoidales son cuadrículas confocales .
Factores de escala y operadores diferenciales
Por brevedad en las ecuaciones siguientes, introducimos una función
dónde puede representar cualquiera de las tres variables . Usando esta función, los factores de escala se pueden escribir
Por tanto, el elemento de volumen infinitesimal es igual a
y el laplaciano se define por
Otros operadores diferenciales como y se puede expresar en las coordenadas sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en coordenadas ortogonales .
Ver también
- Latitud elipsoidal
- Focaloid (capa dada por dos superficies coordinadas)
- Proyección cartográfica del elipsoide triaxial
Referencias
Bibliografía
- Morse PM, Feshbach H (1953). Métodos de Física Teórica, Parte I . Nueva York: McGraw-Hill. pag. 663.
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Convención inusual
- Landau LD, Lifshitz EM, Pitaevskii LP (1984). Electrodinámica de Medios Continuos (Volumen 8 del Curso de Física Teórica ) (2ª ed.). Nueva York: Pergamon Press. págs. 19-29. ISBN 978-0-7506-2634-7. Utiliza coordenadas (ξ, η, ζ) que tienen las unidades de distancia al cuadrado.