En matemáticas , en particular en ecuaciones diferenciales parciales y geometría diferencial , un complejo elíptico generaliza la noción de operador elíptico a secuencias. Los complejos elípticos aíslan aquellas características comunes al complejo de Rham y al complejo Dolbeault que son esenciales para realizar la teoría de Hodge . También surgen en relación con el teorema del índice de Atiyah-Singer y el teorema del punto fijo de Atiyah-Bott .
Definición
Si E 0 , E 1 , ..., E k son paquetes vectoriales en una variedad suave M (generalmente se toma como compacta), entonces un complejo diferencial es una secuencia
de operadores diferenciales entre las poleas de las secciones de la E i tales que P i +1 o P i = 0. Un complejo diferencial con operadores de primer orden es elíptico si la secuencia de símbolos
es exacta fuera de la sección cero. Aquí π es la proyección del paquete cotangente T * M a M , y π * es el retroceso de un paquete vectorial.