Objeto inyectivo

En matemáticas , especialmente en el campo de la teoría de categorías , el concepto de objeto inyectivo es una generalización del concepto de módulo inyectivo . Este concepto es importante en cohomología , en teoría de homotopía y en teoría de categorías de modelos . La noción dual es la de objeto proyectivo .

Se dice que un objeto en una categoría es inyectivo si para cada monomorfismo y cada morfismo existe un morfismo que se extiende a , es decir, tal que .${\ displaystyle Q}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {C}}$ ${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle g:X\to Q}$${\displaystyle h:Y\to Q}$${\displaystyle g}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle h\circ f=g}$

Es decir, todo morfismo influye en todo monomorfismo .${\displaystyle X\to Q}$${\displaystyle X\hookrightarrow Y}$

No es necesario que el morfismo en la definición anterior esté determinado únicamente por y .${\displaystyle h}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g}$

En una categoría localmente pequeña , es equivalente a requerir que el functor hom lleve monomorfismos a mapas de conjuntos sobreyectivos .${\displaystyle \operatorname {Hom} _{\mathbf {C} }(-,Q)}$${\displaystyle \mathbf {C} }$

La noción de inyectividad se formuló por primera vez para las categorías abelianas , y esta sigue siendo una de sus principales áreas de aplicación. Cuando es una categoría abeliana, un objeto Q de es inyectivo si y solo si su hom functor Hom _C (-, Q ) es exacto .${\displaystyle \mathbf {C} }$${\displaystyle \mathbf {C} }$

Un objeto Q es inyectiva si, dada una monomorphism f  : X → Y , cualquier g  : X → Q se puede extender a Y .

Un objeto Q es H -injetivo si, dado h  : A → B en H , cualquier factor de f  : A → Q a través de h .