En matemáticas , las superficies de Enriques son superficies algebraicas tales que la irregularidad q = 0 y el haz de líneas canónicas K no son triviales pero tienen un cuadrado trivial. Las superficies de Enriques son todas proyectivas (y por lo tanto Kähler sobre los números complejos ) y son superficies elípticas de género 0. Sobre campos de característica no 2 son cocientes de superficies K3 por un grupo de orden 2 actuandosin puntos fijos y su teoría es similar a la de las superficies algebraicas K3. Las superficies de Enriques fueron estudiadas en detalle por primera vez por Enriques ( 1896 ) como respuesta a una pregunta discutida por Castelnuovo (1895) sobre si una superficie con q = p g = 0 es necesariamente racional, aunque algunas de las congruencias de Reye introducidas anteriormente por Reye ( 1882 ) son también ejemplos de superficies de Enrique.
Las superficies de Enriques también se pueden definir sobre otros campos. En campos de características distintos de 2, Artin (1960) mostró que la teoría es similar a la de los números complejos. Sobre los campos de la característica 2 se modifica la definición, y hay dos nuevas familias, denominadas superficies de Enriques singulares y supersingulares, descritas por Bombieri & Mumford (1976) . Estas dos familias adicionales están relacionadas con los dos esquemas de grupos algebraicos no discretos de orden 2 en la característica 2.
Invariantes de superficies complejas de Enriques
Las plurigenera P n son 1 si n es par y 0 si n es impar. El grupo fundamental tiene orden 2. El segundo grupo de cohomología H 2 ( X , Z ) es isomorfo a la suma de la única red unimodular uniforme II 1,9 de dimensión 10 y firma -8 y un grupo de orden 2.
Diamante de Hodge:
1 | ||||
0 | 0 | |||
0 | 10 | 0 | ||
0 | 0 | |||
1 |
Las superficies marcadas de Enriques forman una familia de 10 dimensiones conectadas, que Kondo (1994) demostró que es racional.
Característica 2
En la característica 2 hay algunas familias nuevas de superficies de Enriques, a veces llamadas superficies cuasi Enriques o superficies de Enriques no clásicas o superficies de Enriques (super) singulares . (El término "singular" no significa que la superficie tenga singularidades, pero significa que la superficie es "especial" de alguna manera.) En la característica 2 se modifica la definición de superficies de Enriques: se definen como superficies mínimas cuya clase canónica K es numéricamente equivalente a 0 y cuyo segundo número de Betti es 10. (En características distintas de 2 esto equivale a la definición habitual). Ahora hay 3 familias de superficies de Enriques:
- Classical: dim (H 1 (O)) = 0. Esto implica 2 K = 0, pero K es distinto de cero, y Pic τ es Z / 2 Z . La superficie es un cociente de una superficie de Gorenstein singular reducida por el esquema de grupo μ 2 .
- Singular: dim (H 1 (O)) = 1 y el endomorfismo de Frobenius actúa de forma no trivial. Esto implica que K = 0 y Pic τ es μ 2 . La superficie es un cociente de una superficie K3 por el esquema de grupo Z / 2Z.
- Supersingular: dim (H 1 (O)) = 1 y el endomorfismo de Frobenius actúa trivialmente. Esto implica que K = 0 y Pic τ es α 2 . La superficie es un cociente de una superficie de Gorenstein singular reducida por el esquema de grupo α 2 .
Todas las superficies de Enriques son elípticas o cuasi elípticas.
Ejemplos de
- Una congruencia de Reye es la familia de líneas contenidas en al menos 2 cuadrículas de un sistema lineal tridimensional dado de cuadrículas en P 3 . Si el sistema lineal es genérico, entonces la congruencia de Reye es una superficie de Enrique. Estos fueron encontrados por Reye (1882) y pueden ser los primeros ejemplos de superficies de Enrique.
- Tome una superficie de grado 6 en un espacio proyectivo tridimensional con líneas dobles a lo largo de los bordes de un tetraedro , como
- para algún polinomio general homogéneo Q de grado 2. Entonces su normalización es una superficie de Enriques. Esta es la familia de ejemplos encontrados por Enriques (1896) .
- El cociente de una superficie K3 por una involución libre de punto fijo es una superficie de Enriques, y todas las superficies de Enriques en característica distinta de 2 pueden construirse así. Por ejemplo, si S es la superficie K3 w 4 + x 4 + y 4 + z 4 = 0 y T es el automorfismo de orden 4 que toma ( w , x , y , z ) a ( w , ix , - y , - iz ) entonces T 2 tiene dos puntos fijos. Explotar estos dos puntos y tomar el cociente por T 2 da una superficie K3 con una involución T libre de punto fijo , y el cociente de esto por T es una superficie de Enriques. Alternativamente, la superficie de Enriques se puede construir tomando el cociente de la superficie original por el automorfismo T de orden 4 y resolviendo los dos puntos singulares del cociente. Otro ejemplo se da tomando la intersección de 3 cuadrículas de la forma P i ( u , v , w ) + Q i ( x , y , z ) = 0 y tomando el cociente por la involución tomando ( u : v : w : x : y : z ) a (- x : - y : - z : u : v : w ). Para cuadrículas genéricas, esta involución es una involución libre de punto fijo de una superficie K3, por lo que el cociente es una superficie de Enriques.
Ver también
Referencias
- Artin, Michael (1960), Sobre las superficies de Enrique , tesis doctoral, Harvard
- Superficies complejas compactas de Wolf P. Barth, Klaus Hulek, Chris AM Peters, Antonius Van de Ven ISBN 3-540-00832-2 Este es el libro de referencia estándar para superficies compactas complejas.
- Bombieri, Enrico ; Mumford, David (1976), "La clasificación de Enriques de las superficies en el carácter p. III". (PDF) , Inventiones Mathematicae , 35 (1): 197–232, doi : 10.1007 / BF01390138 , ISSN 0020-9910 , MR 0491720
- Castelnuovo, G. (1895), "Sulle superficie di genere zero", Mem. delle Soc. Ital. delle Scienze, ser. III , 10 : 103–123
- Cossec, François R .; Dolgachev, Igor V. (1989), Enriques surge . Yo , Progreso en Matemáticas, 76 , Boston: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-3417-9, MR 0986969
- Dolgachev, Igor V. (2016), Una breve introducción a las superficies de Enriques (PDF)
- Enriques, Federigo (1896), "Introduzione alla geometria sopra le superficie algebriche.", Mem. Soc. Ital. delle Scienze , 10 : 1–81
- Enriques, Federigo (1949), Le Superficie Algebriche , Nicola Zanichelli, Bolonia, MR 0031770[ enlace muerto permanente ]
- Kondo, Shigeyuki (1994), "La racionalidad del espacio de módulos de las superficies de Enriques", Compositio Mathematica , 91 (2): 159-173
- Reye, T. (1882), Die Geometrie der Lage , Leipzig