En análisis matemático , epi-convergencia es un tipo de convergencia de valores reales y extendidos valores reales- funciones.
La epiconvergencia es importante porque es la noción apropiada de convergencia con la que aproximar los problemas de minimización en el campo de la optimización matemática . La noción simétrica de hipoconvergencia es apropiada para problemas de maximización. La convergencia Mosco es una generalización de la epi-convergencia a espacios infinitos de dimensión.
Definición
Dejar ser un espacio métrico , yuna función de valor real para cada número natural . Decimos que la secuencia epi-converge a una función si por cada
Extensión ampliada de valor real
La siguiente extensión permite aplicar epi-convergencia a una secuencia de funciones con dominio no constante.
Denotamos por los números reales extendidos . Dejar ser una función para cada . La secuencia epi-converge a si por cada
De hecho, la epi-convergencia coincide con la -convergencia en primeros espacios contables.
Hipoconvergencia
La epiconvergencia es la topología adecuada con la que aproximar los problemas de minimización. Para los problemas de maximización se utiliza la noción simétrica de hipoconvergencia . hipoconverge a Si
y
Relación con los problemas de minimización
Supongamos que tenemos un problema de minimización difícil
dónde y . Podemos intentar aproximarnos a este problema mediante una secuencia de problemas más sencillos.
para funciones y conjuntos .
La epiconvergencia da respuesta a la pregunta: ¿En qué sentido deben converger las aproximaciones al problema original para garantizar que las soluciones aproximadas converjan a una solución del original?
Podemos integrar estos problemas de optimización en el marco de epi-convergencia definiendo funciones extendidas de valor real
Para que los problemas y son equivalentes a los problemas original y aproximado, respectivamente.
Si epi-converge a , luego . Además, si es un punto límite de minimizadores de , luego es un minimizador de . En este sentido,
Epi-convergencia es la noción más débil de convergencia para la que se cumple este resultado.
Propiedades
- epi-converge a si y solo si hipoconverge a .
- epi-converge a si y solo si converge a como conjuntos, en el sentido de convergencia de conjuntos de Painlevé-Kuratowski . Aquí,es el epígrafe de la función.
- Si epi-converge a , luego es semicontinuo más bajo.
- Si es convexo para cada y epi-converge a , luego es convexo.
- Si y ambos y epi-converger a , luego epi-converge a .
- Si converge uniformemente a en cada conjunto compacto de y son continuos, entonces epi-converge e hipo-converge a .
- En general, la epiconvergencia no implica ni está implicada por una convergencia puntual . Se pueden colocar supuestos adicionales en una familia de funciones convergentes puntuales para garantizar la epi-convergencia.
Referencias
- R. Tyrrell Rockafellar y Roger Wets , Análisis variacional. Capítulo 7 ; Vol. 317. Springer Science & Business Media, 2009.
- Peter Kall, Aproximación a problemas de optimización: una revisión elemental ; Matemáticas de la investigación operativa 19 , págs. 9-18 (1986)
- Hedy Attouch y Roger Wets , Análisis epigráfico ; Annales de l'IHP Analyse non linéaire Vol. 6. 1989.