En matemáticas , la convergencia de Kuratowski es una noción de convergencia para secuencias (o, más generalmente, redes ) de subconjuntos compactos de espacios métricos , nombrados en honor a Kazimierz Kuratowski . Intuitivamente, el límite de Kuratowski de una secuencia de conjuntos es donde los conjuntos se " acumulan ".
Definiciones
Sea ( X , d ) un espacio métrico , donde X es un conjunto y d es la función de la distancia entre los puntos de X .
Para cualquier punto x ∈ X y cualquier subconjunto compacto no vacío A ⊆ X , defina la distancia entre el punto y el subconjunto:
- .
Para cualquier secuencia de tales subconjuntos A n ⊆ X , n ∈ N , el límite inferior de Kuratowski (o límite cerrado inferior ) de A n cuando n → ∞ es
el límite superior de Kuratowski (o límite superior cerrado ) de A n cuando n → ∞ es
Si los límites de Kuratowski inferiores y superiores están de acuerdo (es decir, son el mismo subconjunto de X ), entonces su valor común se llama el límite de Kuratowski de los conjuntos A n como n → ∞ y se denota Lt n → ∞ A n .
Las definiciones de una red general de subconjuntos compactos de X pasan por mutatis mutandis .
Propiedades
- Aunque pueda parecer contra-intuitivo que el límite inferior de Kuratowski involucre el límite superior de las distancias, y viceversa , la nomenclatura se vuelve más obvia cuando se ve que, para cualquier secuencia de conjuntos,
- Es decir, el límite inferior es el conjunto más pequeño y el límite superior es el mayor.
- Los términos límite cerrado superior e inferior se derivan del hecho de que Li n → ∞ A n y Ls n → ∞ A n son siempre conjuntos cerrados en la topología métrica en ( X , d ).
Conceptos relacionados
Para los espacios métricos X tenemos lo siguiente:
- La convergencia de Kuratowski coincide con la convergencia en la topología Fell .
- La convergencia de Kuratowski es más débil que la convergencia en la topología de Vietoris .
- La convergencia de Kuratowski es más débil que la convergencia en la métrica de Hausdorff .
- Para espacios métricos compactos X , la convergencia de Kuratowski coincide con la convergencia en la métrica de Hausdorff y la topología de Vietoris.
- La convergencia de Kuratowksi de epígrafes de funciones de valor real extendidas es equivalente a-convergencia de esas funciones.
Ejemplos de
- Sea A n el conjunto cero de sin ( nx ) en función de x de R a sí mismo
- Entonces A n converge en el sentido Kuratowski a toda la recta real R . Observe que en este caso A n no necesita ser compacto.
Ver también
Referencias
- Kuratowski, Kazimierz (1966). Topología. Volúmenes I y II . Nueva edición, revisada y aumentada. Traducido del francés por J. Jaworowski. Nueva York: Academic Press. págs. xx + 560. SEÑOR0217751
- Beer, Gerald (1993). Topologías sobre conjuntos convexos cerrados y cerrados . Matemáticas y sus aplicaciones. Dordrecht: Grupo de editores académicos de Kluwer. págs. xii + 340.