En geometría , un epicicloide es una curva plana que se produce al trazar la trayectoria de un punto elegido en la circunferencia de un círculo, llamado epiciclo, que rueda sin deslizarse alrededor de un círculo fijo. Es un tipo particular de ruleta .
Ecuaciones
Si el círculo más pequeño tiene un radio r , y el círculo más grande tiene un radio R = kr , entonces las ecuaciones paramétricas para la curva pueden estar dadas por:
o:
(Suponiendo que el punto inicial se encuentra en el círculo más grande).
Si k es un número entero positivo, entonces la curva está cerrada y tiene k cúspides (es decir, esquinas agudas).
Si k es un número racional , digamos k = p / q expresado como fracción irreducible , entonces la curva tiene p cúspides.
Para cerrar la curva y |
completar el primer patrón repetido: |
θ = 0 a q rotaciones |
α = 0 ap rotaciones |
rotaciones totales del círculo de rodadura exterior = p + q rotaciones |
Cuente las rotaciones de la animación para ver py q.
Si k es un número irracional , entonces la curva nunca se cierra y forma un subconjunto denso del espacio entre el círculo más grande y un círculo de radio R + 2 r .
La distancia OP desde (x = 0, y = 0) origen a (el punto en el círculo pequeño) varía hacia arriba y hacia abajo a medida que
R <= OP <= (R + 2r)
R = radio del círculo grande y
2r = diámetro del círculo pequeño
k = 1 un cardioide
k = 2 una nefroide
k = 3 - se asemeja a un trébol
k = 4 - se asemeja a un cuatrifolio
k = 2,1 = 21/10
k = 3.8 = 19/5
k = 5,5 = 11/2
k = 7,2 = 36/5
El epicicloide es un tipo especial de epitrocoide .
Un epiciclo con una cúspide es cardioide , dos cúspides es una nefroide .
Prueba
Suponemos que la posición de es lo que queremos resolver, es el radianes desde el punto tangencial al punto en movimiento , y es el radianes desde el punto inicial hasta el punto tangencial.
Dado que no hay deslizamiento entre los dos ciclos, entonces tenemos que
Por la definición de radianes (que es la velocidad del arco sobre el radio), entonces tenemos que
De estas dos condiciones, obtenemos la identidad
Al calcular, obtenemos la relación entre y , cual es
En la figura, vemos la posición del punto. en el pequeño círculo claramente.
Ver también
Referencias
- J. Dennis Lawrence (1972). Un catálogo de curvas planas especiales . Publicaciones de Dover. págs. 161, 168-170, 175 . ISBN 978-0-486-60288-2.
- ^ Evoluto epicicloide - de Wolfram MathWorld
- ^ Pietrocola, Giorgio (2005). "Tartapelago" . Maecla .
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Epicicloide" . MathWorld .
- " Epicycloid " de Michael Ford, The Wolfram Demonstrations Project , 2007
- O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Epicicloide" , archivo MacTutor de Historia de las Matemáticas , Universidad de St Andrews
- Animación de epicicloides, pericicloides e hipocicloides
- Espirógrafo - GeoFun
- Nota histórica sobre la aplicación del epicicloide a la forma de Gear Teeth