En general, la exponenciación no es conmutativa . Sin embargo, la ecuación se sostiene en casos especiales, como [1]
Historia
La ecuacion se menciona en una carta de Bernoulli a Goldbach (29 de junio de 1728 [2] ). La carta contiene una declaración de que cuandolas únicas soluciones en números naturales son y aunque hay infinitas soluciones en números racionales , como y . [3] [4] La respuesta de Goldbach (31 de enero de 1729 [2] ) contiene la solución general de la ecuación, obtenida sustituyendo[3] Euler encontró una solución similar. [4]
J. van Hengel señaló que si son enteros positivos con, luego por lo tanto, basta con considerar posibilidades y para encontrar soluciones en números naturales. [4] [5]
El problema se discutió en varias publicaciones. [2] [3] [4] En 1960, la ecuación estaba entre las preguntas del Concurso William Lowell Putnam , [6] [7] que llevó a Alvin Hausner a extender los resultados a los campos numéricos algebraicos . [3] [8]
Soluciones reales positivas
- Fuente principal: [1]
Se obtiene una solución general de x ^ y = y ^ x observando que el cuadrante real positivo puede ser 'cubierto' por la intersección de las dos ecuaciones y = mx e y = x ^ n (m> 0, n> 0) . Requerir que algunos puntos también satisfagan la ecuación x ^ y = -y ^ x, significa que x ^ (mx) = (x ^ n) ^ x = x ^ (nx), y al comparar exponentes, m = n. Por lo tanto, las ecuaciones de 'cobertura' significan que nx = x ^ n, y exponenciar ambos lados por 1 / n (n no es igual a 1), x = n ^ (1 (n-1)) e y = n ^ ( n / (n-1). El caso de m = n = 1 corresponde a la solución y = x. Por tanto, la solución completa es {y = x} union {n ^ (1 / (n-1), n ^ ( n / (n-1)) para todo n> 0 y no igual a 1}.
Con base en la solución anterior, la derivada dy / dx es 1 para los pares (x, y) en la línea y = x, y para los otros pares (x, y) se puede encontrar por (dy / dn) / (dx / dn), cuyo cálculo sencillo da como dy / dx = -n ^ 2 para n> 0 y no igual a 1.
El siguiente tratamiento explora algunos casos especiales y señala vínculos con otros conceptos matemáticos.
Un conjunto infinito de soluciones triviales en números reales positivos viene dado por Las soluciones no triviales se pueden escribir explícitamente como
Aquí, y representan las ramas principal y negativa de la función W de Lambert .
Las soluciones no triviales se pueden encontrar más fácilmente asumiendo y dejando Luego
Elevando ambos lados al poder y dividiendo por , obtenemos
Entonces las soluciones no triviales en números reales positivos se expresan como la ecuación paramétrica
Configuración o genera la solución no trivial en números enteros positivos,
Existen otros pares que constan de números algebraicos , como y , así como y .
La parametrización anterior conduce a una propiedad geométrica de esta curva. Se puede demostrar quedescribe la curva de isoclina donde las funciones de potencia de la forma tener pendiente para una elección real positiva de . Por ejemplo, tiene una pendiente de a que también es un punto en la curva
Las soluciones triviales y no triviales se cruzan cuando . Las ecuaciones anteriores no se pueden evaluar directamente en, pero podemos tomar el límite como. Esto se hace más convenientemente sustituyendo y dejando , entonces
Por lo tanto, la línea y la curva para intersecar en x = y = e .
Como , la solución no trivial asíntotas de la recta . Una forma asintótica más completa es
Otras soluciones reales
Un conjunto infinito de soluciones reales discretas con al menos uno de y también existen negativas. Estos son proporcionados por la parametrización anterior cuando los valores generados son reales. Por ejemplo,, es una solución (usando la raíz cúbica real de ). De manera similar, la solución trivial da un conjunto infinito de soluciones discretas por Cuándo es real; por ejemplo.
Gráficos similares
Ecuación
La ecuacion produce un gráfico donde la línea y la curva se cruzan en. La curva también termina en (0, 1) y (1, 0), en lugar de continuar hasta el infinito.
La sección curva se puede escribir explícitamente como
Esta ecuación describe la curva de isoclina donde las funciones de potencia tienen pendiente 1, análoga a la propiedad geométrica de descrito arriba.
La ecuación es equivalente a como se puede ver elevando ambos lados al poder
Ecuación
La ecuacion produce un gráfico donde la curva y la línea se cruzan en (1, 1). La curva se vuelve asintótica a 0, en oposición a 1; es, de hecho, la sección positiva de y = 1 / x .
Referencias
- ↑ a b Lóczi, Lajos. "Sobre poderes conmutativos y asociativos" . KöMaL . Archivado desde el original el 15 de octubre de 2002. Traducción de: "Mikor kommutatív, illetve asszociatív a hatványozás?" (en húngaro). Archivado desde el original el 6 de mayo de 2016.
- ^ a b c Maestro de canto, David . "Fuentes en matemáticas recreativas: una bibliografía comentada. 8ª edición preliminar" . Archivado desde el original el 16 de abril de 2004.CS1 maint: URL no apta ( enlace )
- ^ a b c d Sved, Marta (1990). "Sobre las soluciones racionales de x y = y x " (PDF) . Revista de Matemáticas . Archivado desde el original (PDF) el 4 de marzo de 2016.
- ^ a b c d Dickson, Leonard Eugene (1920), "Soluciones racionales de x y = y x " , Historia de la teoría de los números , II , Washington, p. 687
- ^ van Hengel, Johann (1888). "Beweis des Satzes, dass unter allen reellen positiven ganzen Zahlen nur das Zahlenpaar 4 und 2 für a und b der Gleichung a b = b a genügt" . Cite journal requiere
|journal=
( ayuda ) - ^ Gleason, AM ; Greenwood, RE; Kelly, LM (1980), "La vigésimo primera competencia matemática de William Lowell Putnam (3 de diciembre de 1960), sesión de la tarde, problema 1" , Problemas y soluciones de la competencia matemática de William Lowell Putnam: 1938-1964 , MAA , p. 59, ISBN 0-88385-428-7
- ^ "21 de Putnam 1960. Problema B1" . 20 de octubre de 1999. Archivado desde el original el 30 de marzo de 2008.CS1 maint: bot: estado de URL original desconocido ( enlace )
- ^ Hausner, Alvin (noviembre de 1961). "Campos numéricos algebraicos y la ecuación diofántica m n = n m ". The American Mathematical Monthly . 68 (9): 856–861. doi : 10.1080 / 00029890.1961.11989781 . ISSN 0002-9890 .
enlaces externos
- "Soluciones racionales ax ^ y = y ^ x" . CTK Wiki Math .
- "x ^ y = y ^ x - poderes de conmutación" . Rompecabezas aritméticos y analíticos . Torsten Sillke. Archivado desde el original el 28 de diciembre de 2015.
- dborkovitz (29 de enero de 2012). "Gráfico paramétrico de x ^ y = y ^ x" . GeoGebra .
- Secuencia OEIS A073084 (Expansión decimal de −x, donde x es la solución negativa de la ecuación 2 ^ x = x ^ 2)