En geometría , la densidad de un poliedro en estrella es una generalización del concepto de número de devanado de dos dimensiones a dimensiones superiores, que representa el número de devanados del poliedro alrededor del centro de simetría del poliedro. Se puede determinar pasando un rayo desde el centro hasta el infinito, pasando solo a través de las facetas del politopo y no a través de características de dimensiones inferiores, y contando cuántas facetas atraviesa. Para los poliedros para los que este recuento no depende de la elección del rayo, y para los que el punto central no está en sí mismo en ninguna faceta, la densidad viene dada por este recuento de facetas cruzadas.
El mismo cálculo se puede realizar para cualquier poliedro convexo , incluso uno sin simetrías, eligiendo cualquier punto interior del poliedro como su centro. Para estos poliedros, la densidad será 1. De manera más general, para cualquier poliedro que no se auto intersecta (acústico), la densidad se puede calcular como 1 mediante un cálculo similar que elige un rayo de un punto interior que solo pasa a través de las facetas de el poliedro, suma uno cuando este rayo pasa del interior al exterior del poliedro, y resta uno cuando este rayo pasa del exterior al interior del poliedro. Sin embargo, esta asignación de señales a los cruces no se aplica generalmente a los poliedros en estrella, ya que no tienen un interior y un exterior bien definidos.
Los teselados con caras superpuestas pueden definir de manera similar la densidad como el número de revestimientos de caras sobre cualquier punto dado. [1]
Polígonos
La densidad de un polígono es el número de veces que el límite poligonal gira alrededor de su centro. Para polígonos convexos y, en general, polígonos simples (que no se intersecan automáticamente), la densidad es 1, según el teorema de la curva de Jordan .
La densidad de un polígono también se puede llamar su número de giro ; la suma de los ángulos de giro de todos los vértices dividida por 360 °. Este será un número entero para todos los caminos unicursales en un plano.
La densidad de un polígono compuesto es la suma de las densidades de los polígonos componentes.
Polígonos de estrella regulares
Para un polígono en estrella regular { p / q }, la densidad es q . Puede determinarse visualmente contando el número mínimo de cruces de bordes de un rayo desde el centro hasta el infinito.
Ejemplos de
Un polígono de un solo cruce, como este pentágono equilátero , tiene densidad 0.
El pentágono regular {5} tiene densidad 1.
El tetradecágono isotoxal , {(7/2) α }, tiene densidad 2, similar al {7/2} regular.
El heptagrama {7/3} tiene densidad 3.
El dodecagrama isotoxal , {(6/5) α }, tiene densidad 5, similar al {12/5} regular.
Poliedros
Un poliedro y su dual tienen la misma densidad.
Curvatura total
Un poliedro puede considerarse una superficie con curvatura gaussiana concentrada en los vértices y definida por un defecto de ángulo . La densidad de un poliedro es igual a la curvatura total (sumada a todos sus vértices) dividida por 4π. [2]
Por ejemplo, un cubo tiene 8 vértices, cada uno con 3 cuadrados , lo que deja un defecto de ángulo de π / 2. 8 × π / 2 = 4π. Entonces la densidad del cubo es 1.
Poliedros simples
La densidad de un poliedro con caras simples y figuras de vértice es la mitad de la característica de Euler , χ. Si su género es g , su densidad es de 1 g .
- χ = V - E + F = 2 D = 2 (1- g ).
La densidad del poliedro de la esfera topológica es uno , como un cubo .
v = 8, e = 12, f = 6.La densidad de un poliedro toroidal del género 1 es cero , como esta forma hexagonal: v = 24, e = 48, f = 24.
La densidad de un toroidal del género 5 es -4 , como este Stewart_toroid :
v = 72, e = 168, f = 88.
Poliedros estrella regular
Arthur Cayley usó la densidad como una forma de modificar la fórmula del poliedro de Euler ( V - E + F = 2) para que funcione para los poliedros de estrellas regulares , donde d v es la densidad de una figura de vértice , d f de una cara y D del poliedro como un todo:
Por ejemplo, el gran icosaedro , {3, 5/2}, tiene 20 caras triangulares ( d f = 1), 30 aristas y 12 vértices pentagrammicos ( d v = 2), lo que da
- 2 · 12 - 30 + 1 · 20 = 14 = 2 D .
Esto implica una densidad de 7. La fórmula del poliedro de Euler sin modificar falla para el pequeño dodecaedro estrellado {5/2, 5} y su gran dodecaedro doble {5, 5/2}, para el cual V - E + F = −6.
Los poliedros de estrellas regulares existen en dos pares duales, y cada figura tiene la misma densidad que su dual: un par (pequeño dodecaedro estrellado - gran dodecaedro) tiene una densidad de 3, mientras que el otro ( gran dodecaedro estrellado - gran icosaedro) tiene una densidad de 3 densidad de 7.
El gran icosaedro no convexo , {3,5 / 2} tiene una densidad de 7, como se demuestra en esta vista transparente y en sección transversal de la derecha. |
Poliedros estrella general
Edmund Hess generalizó la fórmula para poliedros estelares con diferentes tipos de caras, algunas de las cuales pueden doblarse hacia atrás sobre otras. El valor resultante para la densidad corresponde al número de veces que el poliedro esférico asociado cubre la esfera.
Esto permitió a Coxeter et al. para determinar las densidades de la mayoría de los poliedros uniformes , que tienen un tipo de vértice y múltiples tipos de caras. [4]
La densidad de un prisma octagonal , envuelto dos veces es 2 , {8/2} × {}, que se muestra aquí con vértices desplazados para mayor claridad.
v = 16, e = 24
f 1 = 8 {4}, f 2 = 2 {8/2}
con d f1 = 1, d f2 = 2, d v = 1.La densidad de un prisma pentagrammico , {5/2} × {} es 2 .
v = 10, e = 15,
f 1 = 5 {4}, f 2 = 2 {5/2},
re f1 = 1, re f2 = 2.
Poliedros no orientables
Para los hemipoliedros , algunas de cuyas caras pasan por el centro, la densidad no se puede definir. Los poliedros no orientables tampoco tienen densidades bien definidas.
4 politopos regulares
Hay 10 politopos 4-politopos en estrella regulares (llamados 4-politopos de Schläfli-Hess ), que tienen densidades entre 4, 6, 20, 66, 76 y 191. Vienen en pares duales, con la excepción del self-dual cifras de densidad 6 y densidad 66.
Notas
- ^ Coxeter, HS M; The Beauty of Geometry: Twelve Essays (1999), Dover Publications, LCCN 99-35678 , ISBN 0-486-40919-8 (206-214, Densidad de panales regulares en el espacio hiperbólico)
- ^ Geometría e imaginación en Minneapolis 17. El defecto angular de un poliedro; 20. Curvatura de superficies; 21. curvatura gaussiana; 27.3.1 Curvatura para poliedros págs. 32-51
- ^ Cromwell, P .; Polyhedra , CUP hbk (1997), pbk. (1999). (Página 258)
- ^ Coxeter, 1954 (Sección 6, Densidad y Tabla 7, Poliedros uniformes)
Referencias
- Coxeter, HSM; Politopos regulares , (3a edición, 1973), edición de Dover, ISBN 0-486-61480-8
- Coxeter, HSM ; Longuet-Higgins, MS; Miller, JCP (1954), "Poliedros uniformes", Transacciones filosóficas de la Royal Society de Londres. Serie A. Ciencias físicas y matemáticas , 246 (916): 401–450, doi : 10.1098 / rsta.1954.0003 , ISSN 0080-4614 , JSTOR 91532 , MR 0062446
- Wenninger, Magnus J. (1979), "Introducción a la noción de densidad poliédrica", Modelos esféricos , Archivo CUP, págs. 132-134 , ISBN 978-0-521-22279-2
enlaces externos
- Weisstein, Eric W. "Densidad de polígonos" . MathWorld .