3 90 ° (4 ciclos) | 3 108 ° (5 ciclos) | 9 espiral de 90 ° ccw | 9 90 ° (4 ciclos) |
100 espiral de 120 ° | 100 120 ° (4 ciclos) |
En la geometría euclidiana , una espirolateral es un polígono creado por una secuencia de ángulos internos de vértice fijos y longitudes de borde secuenciales 1, 2, 3,…, n que se repiten hasta que la figura se cierra. El número de repeticiones necesarias se llama ciclos. [1] Una espirolateral simple solo tiene ángulos positivos. Una espiral simple se aproxima a una porción de una espiral de Arquímedes . Una espirolateral general permite ángulos positivos y negativos.
Una espirolateral que se completa en un giro es un polígono simple , mientras que requiere más de 1 giro es un polígono en estrella y debe ser autocruzante. [2] Una espirolateral simple puede ser un polígono simple equangular < p > con p vértices, o un polígono estrella equiangular < p / q > con p vértices y q vueltas.
Las espirolaterales fueron inventadas y nombradas por Frank C. Odds cuando era adolescente en 1962, como espirolaterales cuadradas con ángulos de 90 °, dibujadas en papel cuadriculado . En 1970, Odds descubrió que la espirolateral triangular y hexagonal , con ángulos de 60 ° y 120 °, se puede dibujar en papel cuadriculado isométrico [3] (triangular). [4] Odds escribió a Martin Gardner, quien lo animó a publicar los resultados en Mathematics Teacher [5] en 1973. [3]
El proceso se puede representar en gráficos de tortuga , alternando el ángulo de giro y las instrucciones de avance, pero limitando el giro a un ángulo racional fijo. [2]
El golygon más pequeño es un espirolateral, 8 90 ° 1,5 , formado con 8 ángulos rectos, y las longitudes 1 y 5 siguen giros cóncavos. Los goligones son diferentes en que deben cerrarse con una sola secuencia 1,2,3, .. n , mientras que un espirolateral repetirá esa secuencia hasta que se cierre.
Clasificaciones
Simple 6 90 ° , 2 ciclos, 3 vueltas | Espirolateral cerrado inesperado regular, 8 90 ° 1,5 | Espirolateral cerrado inesperadamente 7 90 ° 4 | Rectángulo cruzado (1,2, -1, -2) 60 ° |
Hexágono cruzado (1,1,2, -1, -1, -2) 90 ° | (-1.2.4.3.2) 60 ° | (2… 4) 90 ° | (2,1, -2,3, -4,3) 120 ° |
Una espirolateral simple gira en la misma dirección. [2] Se denota por n θ , donde n es el número de longitudes de aristas enteras secuenciales y θ es el ángulo interno , como cualquier divisor racional de 360 °. Las longitudes de los bordes secuenciales se pueden expresar explícitamente como (1,2, ..., n ) θ .
Nota: El ángulo θ puede resultar confuso porque representa el ángulo interno, mientras que el ángulo de giro suplementario puede tener más sentido. Estos dos ángulos son iguales para 90 °.
Esto define un polígono equiangular de la forma < kp / kq >, donde el ángulo θ = 180 (1−2 q / p ), con k = n / d , y d = gcd ( n , p ). Si d = n , el patrón nunca se cierra. De lo contrario, tiene kp vértices y kq densidad . La simetría cíclica de una espirolateral simple es p / d -pold.
Un polígono regular , { p } es un caso especial de espirolateral, 1 180 (1−2 / p ) ° . Un polígono de estrella regular , { p / q }, es un caso especial de espirolateral, 1 180 (1−2 q / p ) ° . Un polígono isogonal es un caso especial espirolateral, 2180 (1−2 / p ) ° o 2180 (1−2 q / p ) ° .
Una espirolateral general puede girar hacia la izquierda o hacia la derecha. [2] Se denota por n θ a 1 , ..., a k , donde a i son índices con ángulos negativos o cóncavos. [6] Por ejemplo, 2 60 ° 2 es un rectángulo cruzado con ángulos internos de ± 60 °, que se dobla hacia la izquierda o hacia la derecha.
Una espiralateral cerrada inesperada regresa al primer vértice en un solo ciclo. Solo las espirolaterales generales pueden no cerrarse. Un golygon es una espiralateral cerrada inesperada regular que se cierra en la dirección esperada. Una espiralateral cerrada inesperada irregular es aquella que regresa al primer punto pero desde la dirección equivocada. Por ejemplo 7 90 ° 4 . Se necesitan 4 ciclos para volver al inicio en la dirección correcta. [2]
Un espirolateral moderno , también llamado loop-de-loops [7] por la educadora Anna Weltman, se denota por ( i 1 , ..., i n ) θ , permitiendo cualquier secuencia de números enteros como longitudes de los bordes, i 1 a i n . [8] Por ejemplo, (2, 3, 4) 90 ° tiene longitudes de borde 2, 3, 4 que se repiten. A los giros en la dirección opuesta se les puede dar una longitud de borde entera negativa. Por ejemplo, un rectángulo cruzado se puede dar como (1,2, −1, −2) θ .
Una espirolateral abierta nunca se cierra. Una espirolateral simple, n θ , nunca se cierra si n θ es un múltiplo de 360 °, mcd ( p , n ) = p . Una espirolateral general también puede estar abierta si la mitad de los ángulos son positivos, la mitad negativos.
Cierre
Se puede calcular el número de ciclos necesarios para cerrar una espirolateral , n θ , con k vueltas opuestas, p / q = 360 / (180- θ ). Reducir la fracción ( p -2 q ) ( n -2 k ) / 2 p = a / b . La figura se repite después de b ciclos y completa un total de vueltas . Si b = 1, la figura nunca se cierra. [1]
Explícitamente, el número de ciclos es 2 p / d , donde d = mcd (( p -2 q ) ( n -2 k ), 2 p ). Si d = 2 p , se cierra en 1 ciclo o nunca.
El número de ciclos puede verse como el orden de simetría rotacional de la espirolateral.
- n 90 °
1 90 ° , 4 ciclos, 1 vuelta
2 90 ° , 2 ciclos, 1 vuelta
3 90 ° , 4 ciclos, 3 vueltas
4 90 ° , nunca cierra
5 90 ° , 4 ciclos, 5 vueltas
6 90 ° , 2 ciclos, 3 vueltas
7 90 ° , 4 ciclos, 6 vueltas
8 90 ° , nunca cierra
9 90 ° , 4 ciclos, 9 vueltas
10 90 ° , 2 ciclos, 5 vueltas
- n 60 °
1 60 ° , 3 ciclos, 1 vuelta
2 60 ° , 3 ciclos, 2 vueltas
3 60 ° , nunca cierra
4 60 ° , 3 ciclos, 4 vueltas
5 60 ° , 3 ciclos, 5 vueltas
6 60 ° , nunca cierra
7 60 ° , 3 ciclos, 7 vueltas
8 60 ° , 3 ciclos, 8 vueltas
9 60 ° , nunca cierra
10 60 ° , 3 ciclos, 10 vueltas
Pequeños espirolaterales simples
Las espirolaterales se pueden construir a partir de cualquier divisor racional de 360 °. Las columnas de la primera tabla muestran ángulos de pequeños polígonos regulares y la segunda tabla de polígonos en estrella, con ejemplos hasta n = 6.
Un polígono equiangular < p / q > tiene p vértices y q densidad. < np / nq > se puede reducir mediante d = mcd ( n , p ).
- Ángulos divisores enteros pequeños
θ | 60 ° | 90 ° | 108 ° | 120 ° | 128 4/7 ° | 135 ° | 140 ° | 144 ° | 147 3/11 ° | 150 ° |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Ángulo de giro de 180 θ | 120 ° | 90 ° | 72 ° | 60 ° | 51 3/7 ° | 45 ° | 40 ° | 36 ° | 32 8/11 ° | 30 ° |
n θ \ p | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |
1 θ Regular { p } | 1 60 ° {3} | 1 90 ° {4} | 1 108 ° {5} | 1 120 ° {6} | 1 128,57 ° {7} | 1 135 ° {8} | 1 140 ° {9} | 1 144 ° {10} | 1 147,27 ° {11} | 1 150 ° {12} |
2 θ Isogonal <2 p / 2> | 2 60 ° <6/2> | 2 90 ° <8/2> → <4> | 2 108 ° <10/2> | 2 120 ° <12/2> → <6> | 2 128,57 ° <14/2> | 2 135 ° <16/2> → <8> | 2 140 ° <18/2> | 2 144 ° <20/2> → <10> | 2 147 ° <22/2> | 2 150 ° <24/2> → <12> |
3 θ 2-isogonal <3 p / 3> | 3 60 ° abierto | 3 90 ° <12/3> | 3 108 ° <15/3> | 3 120 ° <18/3> → <6> | 3 128,57 ° <21/3> | 3 135 ° <24/3> | 3 140 ° <27/3> → <9> | 3 144 ° <30/3> | 3 147 ° <33/3> | 3 150 ° <36/3> → <12> |
4 θ 3-isogonal <4 p / 4> | 4 60 ° <12/4> | 4 90 ° abierto | 4 108 ° <20/4> | 4 120 ° <24/4> → <12/2> | 4 128,57 ° <28/4> | 4 135 ° <32/4> → <8> | 4 140 ° <36/4> | 4 144 ° <40/4> → <20/2> | 4 147 ° <44/4> | 4 150 ° <48/4> → <12> |
5 θ 4-isogonal <5 p / 5> | 5 60 ° <15/5> | 5 90 ° <20/5> | 5 108 ° abierto | 5 120 ° <30/5> | 5 128,57 ° <35/5> | 5 135 ° <40/5> | 5 140 ° <45/5> | 5 144 ° <50/5> → <10> | 5 147 ° <55/5> | 5 150 ° <60/5> |
6 θ 5-isogonal <6 p / 6> | 6 60 ° abierto | 6 90 ° <24/6> → <12/3> | 6 108 ° <30/6> | 6 120 ° Abierto | 6 128,57 ° <42/6> | 6 135 ° <48/6> → <24/3> | 6 140 ° <54/6> → <18/2> | 6 144 ° <60/6> → <30/3> | 6 147 ° <66/6> | 6 150 ° <72/6> → <12> |
- Ángulos divisores racionales pequeños
θ | 15 ° | 16 4/11 ° | 20 ° | 25 5/7 ° | 30 ° | 36 ° | 45 ° | 49 1/11 ° | 72 ° | 77 1/7 ° | 81 9/11 ° | 100 ° | 114 6/11 ° |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Ángulo de giro de 180 θ | 165 ° | 163 7/11 ° | 160 ° | 154 2/7 ° | 150 ° | 144 ° | 135 ° | 130 10/11 ° | 108 ° | 102 6/7 ° | 98 2/11 ° | 80 ° | 65 5/11 ° |
n θ \ p / q | 24/11 | 5/11 | 4/9 | 7/3 | 12/5 | 5/2 | 8/3 | 4/11 | 10/3 | 7/2 | 3/11 | 9/2 | 2/11 |
1 θ Regular { p / q } | 1 15 ° {24/11} | 1 16,36 ° {11/5} | 1 20 ° {9/4} | 1 25,71 ° {7/3} | 1 30 ° {12/5} | 1 36 ° {5/2} | 1 45 ° {8/3} | 1 49,10 ° {11/4} | 1 72 ° {10/3} | 1 77,14 ° {7/2} | 1 81,82 ° {11/3} | 1 100 ° {9/2} | 1 114,55 ° {11/2} |
2 θ Isógonal <2 p / 2 q > | 2 15 ° <48/22> → <24/11> | 2 16,36 ° <22/10> | 2 20 ° <18/8> | 2 25,71 ° <14/6> | 2 30 ° <24/10> → <12/5> | 2 36 ° <10/4> | 2 45 ° <16/6> → <8/3> | 2 49,10 ° <22/8> | 2 72 ° <20/6> → <10/3> | 2 77,14 ° <14/4> | 2 81,82 ° <22/6> | 2 100 ° <18/4> | 2 114,55 ° <22/4> |
3 θ 2-isogonal <3 p / 3 q > | 3 15 ° <72/33> → <24/11> | 3 16,36 ° <33/15> | 3 20 ° <27/12> → <9/4> | 3 25,71 ° <21/9> | 3 30 ° <36/15> → <12/5> | 3 36 ° <15/6> | 3 45 ° <24/9> | 3 49,10 ° <33/12> | 3 72 ° <30/9> | 3 77,14 ° <21/6> | 3 81,82 ° <33/9> | 3 100 ° <27/6> → <9/2> | 3 114,55 ° <33/6> |
4 θ 3-isogonal <4 p / 4 q > | 4 15 ° <96/44> → <24/11> | 4 16,36 ° <44/20> | 4 20 ° <36/12> | 4 25,71 ° <28/4> | 4 30 ° <48/40> → <12/5> | 4 36 ° <20/8> | 4 45 ° <32/12> → <8/3> | 4 49,10 ° <44/16> | 4 72 ° <40/12> → <20/6> | 4 77,14 ° <28/8> | 4 81,82 ° <44/12> | 4 100 ° <36/8> | 4 114,55 ° <44/8> |
5 θ 4-isogonal <5 p / 5 q > | 5 15 ° <120/55> | 5 16,36 ° <55/25> | 5 20 ° <45/20> | 5 25,71 ° <35/15> | 5 30 ° <60/25> | 5 36 ° abierto | 5 45 ° <40/15> | 5 49,10 ° <55/20> | 5 72 ° <50/15> → <10/3> | 5 77,14 ° <35/10> | 5 81,82 ° <55/15> | 5 100 ° <45/10> | 5 114,55 ° <55/10> |
6 θ 5-isogonal <6 p / 6 q > | 6 15 ° <144/66> → <24/11> | 6 16,36 ° <66/30> | 6 20 ° <54/24> → <18/8> | 6 25,71 ° <42/18> | 6 30 ° <72/30> → <12/5> | 6 36 ° <30/12> | 6 45 ° <48/18> → <24/9> | 6 49,10 ° <66/24> | 6 72 ° <60/18> → <30/9> | 6 77,14 ° <42/12> | 6 81,82 ° <66/18> | 6 100 ° <54/12> → <18/4> | 6 114,55 ° <66/12> |
Ver también
- Los gráficos de tortugas representan un lenguaje de computadora que define un camino abierto o cerrado como longitudes de movimiento y ángulos de giro.
Referencias
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enlaces externos
- Aplicación Javascript Spirolaterals