Teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien
En geometría , el teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien , [1] llamado así por William Wallace , Farkas Bolyai y Paul Gerwien , es un teorema relacionado con las disecciones de polígonos . Responde a la pregunta de cuándo se puede formar un polígono a partir de otro cortándolo en un número finito de piezas y recomponiéndolas mediante traslaciones y rotaciones . El teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien establece que esto se puede hacer si y solo si dos polígonos tienen la misma área .
Según otras fuentes, Bolyai y Gerwien demostraron el teorema de forma independiente en 1833 y 1835, respectivamente.
Hay varias formas en que se puede formular este teorema. La versión más común utiliza el concepto de "equidescomponibilidad" de los polígonos: dos polígonos son equidescomponibles si se pueden dividir en un número finito de triángulos que solo se diferencian por alguna isometría (de hecho, solo por una combinación de traslación y rotación). En este caso, el teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien establece que dos polígonos son equidescomponibles si y solo si tienen la misma área.
Otra formulación es en términos de congruencia de tijera : dos polígonos son congruentes de tijera si se pueden descomponer en un número finito de polígonos que son congruentes por pares . La congruencia de tijera es una relación de equivalencia . En este caso el teorema de Wallace-Bolyai-Gerwien establece que las clases de equivalencia de esta relación contienen precisamente aquellos polígonos que tienen la misma área.
El teorema se puede entender en unos pocos pasos. En primer lugar, cada polígono se puede cortar en triángulos. Hay algunos métodos para esto. Para polígonos convexos se puede cortar cada vértice por turno, mientras que para polígonos cóncavos esto requiere más cuidado. Un enfoque general que también funciona para polígonos no simples sería elegir una línea que no sea paralela a ninguno de los lados del polígono y dibujar una línea paralela a esta a través de cada uno de los vértices del polígono. Esto dividirá el polígono en triángulos y trapecios , que a su vez se pueden convertir en triángulos.
En segundo lugar, cada uno de estos triángulos se puede transformar en un triángulo rectángulo y luego en un rectángulo con un lado de longitud 1. Alternativamente, un triángulo se puede transformar en uno de esos rectángulos primero convirtiéndolo en un paralelogramo y luego convirtiéndolo en tal rectángulo. Al hacer esto para cada triángulo, el polígono se puede descomponer en un rectángulo con unidad de ancho y alto igual a su área.
