Equivalents of the Axiom of Choice es un libro de matemáticas que recopila afirmaciones en matemáticas que son verdaderas si y solo si se cumpleel axioma de elección . Fue escrito por Herman Rubin y Jean E. Rubin , y publicado en 1963 por North-Holland como el volumen 34 de su serie Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. Una edición actualizada, Equivalents of the Axiom of Choice, II , se publicó como el volumen 116 de la misma serie en 1985.
Temas
En el momento de la publicación original del libro, se desconocía si el axioma de elección se seguía de los otros axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel (ZF), o era independiente de ellos, aunque se sabía que era coherente con ellos a partir del trabajo. de Kurt Gödel . Este libro codificó el proyecto de clasificar los teoremas de las matemáticas de acuerdo con si el axioma de elección era necesario en sus demostraciones, o si podían probarse sin él. Aproximadamente al mismo tiempo que la publicación del libro, Paul Cohen demostró que la negación del axioma de elección también es consistente, lo que implica que el axioma de elección, y todas sus declaraciones equivalentes en este libro, son de hecho independientes de ZF. [1]
La primera edición del libro incluye más de 150 afirmaciones en matemáticas que son equivalentes al axioma de elección, incluidas algunas que son novedosas para el libro. [1] [2] Esta edición está dividida en dos partes, la primera involucra nociones expresadas usando conjuntos y la segunda involucra clases en lugar de conjuntos. Dentro de la primera parte, los temas se agrupan en enunciados relacionados con el principio del buen orden , el axioma de la elección en sí, la tricotomía (la capacidad de comparar números cardinales ) y el lema de Zorn y los principios de maximalidad relacionados . Esta sección también incluye tres capítulos más, sobre declaraciones en álgebra abstracta , declaraciones para números cardinales y una colección final de declaraciones diversas. La segunda sección tiene cuatro capítulos, sobre temas paralelos a cuatro de los capítulos de la primera sección. [3]
El libro incluye la historia de cada declaración y muchas pruebas de su equivalencia. [3] En lugar de ZF, utiliza la teoría de conjuntos de Von Neumann-Bernays-Gödel para sus demostraciones, principalmente en una forma llamada NBG 0 que permite urelementos (contrario al axioma de extensionalidad ) y tampoco incluye el axioma de regularidad .
La segunda edición agrega muchas declaraciones equivalentes adicionales, más del doble que la primera edición, con una lista adicional de más de 80 declaraciones que están relacionadas con el axioma de elección pero que no se sabe que sean equivalentes a él. [2] Incluye dos secciones adicionales, una sobre declaraciones equivalentes que necesitan los axiomas de extensionalidad y regularidad en sus pruebas de equivalencia, y otra sobre declaraciones en topología , análisis matemático y lógica matemática . [4] También incluye desarrollos más recientes sobre la independencia del axioma de elección y una descripción mejorada de la historia del lema de Zorn. [2]
Audiencia y recepción
Este libro está escrito como una referencia para los matemáticos profesionales, especialmente aquellos que trabajan en teoría de conjuntos . [2] El revisor Chen Chung Chang escribe que "será útil tanto para el especialista en el campo como para el matemático que trabaja en general", y que su presentación de resultados es "clara y lúcida". [3] En el momento de la segunda edición, los revisores JM Plotkin y David Pincus llamaron a esto "la referencia estándar" en esta área. [4] [5]
Referencias
- ^ a b Goodstein, RL (octubre de 1964), "Revisión de equivalentes del axioma de elección ", The Mathematical Gazette , 48 (365): 348, doi : 10.2307 / 3613069 , JSTOR 3613069
- ^ a b c d Smith, Perry (1987), "Revisión de equivalentes del axioma de elección, II ", Revisiones matemáticas , MR 0798475
- ^ a b c Chang, C.-C. , "Revisión de equivalentes del axioma de elección ", Revisiones matemáticas , MR 0153590
- ^ a b Plotkin, JM, "Revisión de equivalentes del axioma de elección, II ", zbMATH , Zbl 0582.03033
- ^ Pincus, David (septiembre de 1987), "Review of Equivalents of the Axiom of Choice, II ", Journal of Symbolic Logic , 52 (3): 867–869, doi : 10.2307 / 2274372 , JSTOR 2274372
enlaces externos
- Equivalentes del axioma de elección, II en Internet Archive