Forma diferencial equivalente

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En geometría diferencial, una forma diferencial equivariante en una variedad M sobre la que actúa un grupo de Lie G es un mapa polinomial

del álgebra de Lie al espacio de formas diferenciales sobre M que son equivariantes; es decir,${\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Mentira} (G)}$

Para una forma diferencial equivariante , la derivada exterior equivariante de está definida por${\ estilo de visualización \ alfa}$ ${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}\alpha }$${\ estilo de visualización \ alfa}$

donde d es la derivada exterior habitual y es el producto interior por el campo vectorial fundamental generado por X . Es fácil de ver (utilice el hecho de que la derivada de Lie de Along es cero) y luego se pone${\displaystyle i_{X^{\#}}}$${\displaystyle d_{\mathfrak {g}}\circ d_{\mathfrak {g}}=0}$${\ estilo de visualización \ alfa (X)}$${\ estilo de visualización X ^ {\ #}}$

la cual se denomina cohomología equivariante de M (que coincide con la cohomología equivariante ordinaria definida en términos de construcción de Borel ). La definición se debe a H. Cartan. La noción tiene una aplicación a la teoría del índice equivariante .

${\displaystyle d_{\mathfrak{g}}}$Las formas -cerradas o -exactas se denominan equivariantemente cerradas o equivariantemente exactas .${\displaystyle d_{\mathfrak{g}}}$

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