En geometría , un colector esencial es un tipo especial de colector cerrado. La noción fue introducida por primera vez explícitamente por Mikhail Gromov . [1]
Definición
Una variedad cerrada M se llama esencial si su clase fundamental [ M ] define un elemento distinto de cero en la homología de su grupo fundamental π , o más precisamente en la homología del correspondiente espacio Eilenberg-MacLane K ( π , 1), a través de la natural homomorfismo
donde n es la dimensión de M . Aquí la clase fundamental se toma en homología con coeficientes enteros si la variedad es orientable, y en coeficientes módulo 2, en caso contrario.
Ejemplos de
- Todas las superficies cerradas (es decir, colectores bidimensionales) son esenciales con la excepción de la S 2 de 2 esferas .
- El espacio proyectivo real RP n es fundamental ya que la inclusión
- es inyectivo en homología, donde
- es el espacio de Eilenberg-MacLane del grupo cíclico finito de orden 2.
- Todos los colectores asféricos compactos son esenciales (ya que ser asférico significa que el colector en sí ya es un K ( π , 1))
- En particular, todos los colectores hiperbólicos compactos son esenciales.
- Todos los espacios para lentes son esenciales.
Propiedades
- La suma conectada de las variedades esenciales es esencial.
- Cualquier variedad que admita un mapa de grado distinto de cero a una variedad esencial es en sí misma esencial.
Referencias
- ^ Gromov, M .: "Llenado de colectores de Riemann", J. Diff. Geom. 18 (1983), 1-147.