Espacio asférico

En topología , una rama de las matemáticas, un espacio asférico es un espacio topológico con todos los grupos de homotopía iguales a 0 cuando .${\displaystyle \pi _{n}(X)}$${\displaystyle n>1}$

Si se trabaja con complejos CW , se puede reformular esta condición: un complejo CW asférico es un complejo CW cuya cobertura universal es contráctil . De hecho, la contractibilidad de una cubierta universal es lo mismo, según el teorema de Whitehead , que su asfericalidad. Y es una aplicación de la secuencia exacta de una fibración que los grupos de homotopía superiores de un espacio y su cobertura universal son los mismos. (Por el mismo argumento, si E es un espacio conectado a una ruta y es cualquier mapa de cobertura , entonces E es asférico si y solo si B es asférico).${\displaystyle p\colon E\to B}$

Cada espacio asférica X es, por definición, un espacio de Eilenberg-MacLane de tipo , donde es el grupo fundamental de X . También directamente de la definición, un espacio asférico es un espacio de clasificación para su grupo fundamental (considerado un grupo topológico cuando está dotado de la topología discreta ).${\displaystyle K(G,1)}$${\displaystyle G=\pi _{1}(X)}$

Ejemplos de

• Uso de la segunda de las definiciones anteriores que ver fácilmente que todos los orientable compacto superficies de mayor género que 0 son asférica (ya que tienen o bien el plano euclidiano o el plano hiperbólico como una cubierta universal).
• De ello se deduce que todas las superficies no orientables, excepto el plano proyectivo real , también son asféricas, ya que pueden estar cubiertas por una superficie orientable del género 1 o superior.
• De manera similar, un producto de cualquier número de círculos es asférico. Como cualquier colector plano completo de Riemann.
• Cualquier 3-múltiple hiperbólico está, por definición, cubierto por el 3-espacio hiperbólico H ³ , por lo tanto asférico. Como es cualquier n -manifold cuyo espacio recubrimiento universal es hiperbólica n -space H ⁿ .
• Deje que X  =  G / K sea un espacio simétrico de Riemann de tipo negativo, y Γ ser un enrejado en G que actúa libremente en X . Entonces el espacio localmente simétrico es asférico.${\displaystyle \Gamma \backslash G/K}$
• La construcción de Bruhat-Tits de un grupo algebraico simple sobre un campo con una valoración discreta es asférica.
• El complemento de un nudo en S ³ es asférico, por el teorema de la esfera
• Los espacios métricos con curvatura no positiva en el sentido de Aleksandr D. Aleksandrov (localmente espacios CAT (0) ) son asféricos. En el caso de las variedades de Riemann , esto se desprende de la teorema de Cartan-Hadamard , que se ha generalizado a espacios métricos geodésicas por Mikhail Gromov y Werner Ballmann. Esta clase de espacios asféricos incluye todos los ejemplos dados anteriormente.
• Cualquier nilmanifold es asférico.

Variedades simplécticamente asféricas

En el contexto de las variedades simplécticas , el significado de "asférico" es un poco diferente. Específicamente, decimos que una variedad simpléctica (M, ω) es simplécticamente asférica si y solo si

${\displaystyle \int _{S^{2}}f^{*}\omega =\langle c_{1}(TM),f_{*}[S^{2}]\rangle =0}$

para cada mapeo continuo

${\displaystyle f\colon S^{2}\to M,}$

donde denota la primera clase Chern de una estructura casi compleja que es compatible con ω.${\displaystyle c_{1}(TM)}$

Por el teorema de Stokes , vemos que las variedades simplécticas que son asféricas también son variedades simplécticamente asféricas. Sin embargo, existen variedades simplécticamente asféricas que no son espacios asféricos. ^[1]

Algunas referencias ^[2] eliminan el requisito de c ₁ en su definición de "simplécticamente asférico". Sin embargo, es más común que las variedades simplécticas que satisfacen sólo esta condición más débil sean llamadas "débilmente exactas".

Ver también

• Espacio acíclico
• Colector esencial
• Conjetura de Whitehead

Notas

1. Robert E. Gompf, Variedades simplécticamente asféricas con π ₂ no triviales , Matemáticas. Res. Letón. 5 (1998), núm. 5, 599–603. Señor 1666848
2. Jarek Kedra, Yuli Rudyak y Aleksey Tralle, variedades simplécticamente asféricas , J.Aplicación deteoría de punto fijo. 3 (2008), núm. 1, 1–21. Señor 2402905

Referencias

• Bridson, Martin R .; Haefliger, André , Espacios métricos de curvatura no positiva . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 319. Springer-Verlag, Berlín, 1999. xxii + 643 págs.  ISBN 3-540-64324-9 MR 1744486 

enlaces externos

• Colectores asféricos en el Atlas de colectores.